Построение доверительных интервалов для разности средних а и отношения дисперсий двух нормальных распределений

1. Построение доверительного интервала для разности средних двух нормальных распределений с известными дисперсиями.

ПустьXj, ..., х„ — выборка двух независимых наблюдений из совокупности N(av of), ау1; ...,ут — независимая от нее выборка из совокупности JV(a2, а2). По результатам наблюдений требуется построить доверительный интервал для разности аг - а2. Случайные величины X = — ?х, и У = “ХУ;

( ah ( ст2)

имеют соответственно распределения N а,, — | и N а2, — . Поэтому случайная величинах-У распределена по закону

( al а2)

N at - а2>+ т 1’ 3 величина

подчиняется закону N(0, 1). Дальнейшие рассуждения аналогичны рассуждениям при построении доверительного интервала для математического ожидания нормального закона с известной дисперсией.

2. Построение доверительного интервала для разности средних двух распределений с неизвестными, но равными дисперсиями.

В условиях предыдущей задачи будем считать, что о2 = = а2 = а, но точное значение а неизвестно. По результатам наблюдений необходимо построить доверительный интервал для разности ах - а2. Рассмотрим случайную величину/, полагая в (1.36) a2 = a2 = ст:

Поскольку о неизвестно, то использовать (1.37) для построения доверительного интервала нельзя. Заменим параметр а2 его оценкой. По первой выборке о2 можно оценить с помощью статистики

по второй — с помощью статистики

Оценка будет более точной, если воспользоваться результатом двух выборок S2 = ЬД2 + b2S2.

Так как S2 — несмещенная оценка для а2, то MS2 = = M(bjS2 + b2S2) = bjCT2 + Ь2ст2 = a2(bj + b2), т.е. bj + b2 = 1. В классе несмещенных оценок вида (1.37) найдем оценку с минимальной дисперсией DS2.

2(Т^ 2(7^

Так как DS,2 =-и DS, = --, и DS2 = b.DS,2 + b2DS2,

1 п-1 ^ m - 1 11 J А

то

Найдем значение Ьг, при котором g'Cbj) = 0:

/ 2 2 )

Так как г"(Ь.) = 2ст4-- н--> 0, то Ь, является точ-

(п - 1 m - 1J

кой локального минимума g(x). Следовательно, в качестве оценки для а2 можно взять случайную величину

2cj^

при этом MS2 = a2, DS2 =-

т + п -2

т + п-2 2 п-1 2 т-1 2

Случайная величина ---S = —— Sj + —— S2,

ст а ст

равная сумме случайных величин, имеющих распределение у2, также имеет распределение у2 с (т + п - 2) степенями свободы. Поэтому случайная величина

имеет распределение Стьюдента с т + п - 2 степенями свободы. Дальнейшие рассуждения, аналогичные приведенным, при построении доверительного интервала для математического ожидания нормального распределения с неизвестной дисперсией позволяют получить доверительный интервал

( a) a

где t — j — — x 100% точка распределения Стьюдента с

т + п - 2 степенями свободы.

3. Построение доверительного интервала для отношения дисперсий двух нормальных распределений с известными средними.

Пусть хи ..., х„ иу1; ...,уп — повторные выборки из совокупностей N(alt Oj), N(a2, а2). Построим доверительный ин-

_2

2 2

тервал для отношения ~. Оценками для aj и а2 служат °2

Случайная величина

имеет распределение Фишера с (п, т) степенями свободы. По таблицам находим значения С, (а) и С2(а), для которых

т.е. Р jcj(a) < < С2(а)| = 1-а.

Отсюда получаем искомый доверительный интервал

4. Построение доверительного интервала для отношения дисперсий двух нормальных распределений с неизвестными средними.

В этом случае оценками неизвестных дисперсий служат

С2 2

Случайная величина ——— имеет распределение Фишера

S2 al

с (п - 1, т - 1) степенями свободы и называется критерием Фишера (F-критерием).

Дальнейшие рассуждения аналогичны приведенным в предыдущем случае.

Следует отметить, что при анализе результатов эксперимента требуется не только уточнить вопрос о воспроизводимости эксперимента, оценивая однородность изменчивости, в частности, дисперсии в различных опытах в ходе их проведения, но и оценить различие значений дисперсий для одной и той же случайной величины.

При гауссовском законе распределения случайной величины для проверки гипотезы о равенстве двух дисперсий одной и той же случайной величины в качестве критерия значимости используется F-критерий, который равен отношению двух рассматриваемых выборочных дисперсий S] и S2, имеющих соответственно числа степеней свободы /, и /2 (число степеней свободы — это разность между числом экспериментов и числом значений независимых случайных величин, полученных в результате этих экспериментов, которые не позволяют оцениваемой величине принимать какое-либо другое значение, отличное от полученного по окончании их проведения), т.е.

При расчете F-критерия по (1.38) должно выполняться условие S2 > S2. В противном случае следует поменять местами рассматриваемые дисперсии.

Найденное экспериментальное значение F-критерия сравнивается с его критическим значением FKp, соответствующим максимальному значению отношения двух дисперсий, при котором еще можно считать гипотезу о равенстве рассматриваемых дисперсий справедливой.

Критическое значение FKp по числу степеней свободы и заданному коэффициенту риска находится из таблицы приложения, приведенной в работе [25]. Значение числа степеней свободы/j дисперсии, стоящей в числителе выражения, определяет значение FKp по столбцу, а значение /2 — по строке. Если F < FKp, то гипотеза о равенстве выборочных дисперсий принимается.

Для проверки гипотезы о равенстве двух выборочных средних значений случайной величины, имеющей гауссовский закон распределения, используется критерий Стьюдента. В этом случае подсчитывают выборочные средние арифметические значения сл. в. 3cj и х2 соответственно для выборок и, и п2 и их выборочные стандартные отклонения

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >