Выравнивание по кривым распределения и оценка согласия посредством вероятностной шкалы

Для графического анализа удобно пользоваться так называемой вероятностной шкалой.

Если теоретическое распределение имеет функцию распределения у = F(x) и обратная зависимость выражается формулой х = G(y), то при замене равномерной шкалы у функциональной шкалой G(y)“ кривая у = F(x) становится прямой линией. Поэтому сгруппированные точки эмпирического распределения будут располагаться на вероятностной шкале по прямой (или вблизи от нее), если общая совокупность соответствует принятому закону у = F(x).

С помощью вероятностной бумаги несложно проверить гипотезу о соответствии опытного распределения заданному закону, оценить степень соответствия, а также с известным приближением графически определить статистические характеристики (например, MX и S).

Вероятностная метрическая шкала для различных законов распределения

Функциональная шкала G(y) ординат нормального закона распределения соответствует накопленным теоретическим частостям F(x')%, т.е. значениям функции распределения [0,5 + Ф(0]%. Пределы шкалы: нижний для х' = -3,54; Ф,(х') = = 0,0002 и верхний для х' = 3,54; Ф](х') = 0,9998. Накопленные опытные частости FT*,') в % соответствуют верхним пределам разрядов *,'. Значения частостей по накопленным опытным частотам N (0 (табл. 1.12), пересчитаны по формуле

где N = 498 (объемов совокупности).

Так, для*,' = 1,57 мм

и

Накопленные опытные частости лежат на линии, близкой к прямой, за исключением крайних значений. Эта прямая соответствует накопленным теоретическим (выравнивающим) частостям.

Оценку согласия можно производить различными методами, в частности, пользуясь критериями согласия [1, 2].

При оценке, например, по критерию у2 требуется определить частоты, как опытные, так и теоретические (по прямой). Для этого находят расстояния ординат между точками экспериментальной линии частостей и прямой в масштабе шкалы

Произведенные подсчеты разности между опытными и теоретическими частостями позволили определить значение у2, которое оказалось близким к найденному в примере 1.39, т.е. подтверждено отсутствие грубого противоречия с предположением о нормальности распределения.

Выборочное среднее * находится по шкале *, как та абсцисса эмпирической ломаной линии, для которой F“(*') = 50%. Здесь х = х- ~ 1,573 мм совпадает с ранее вычисленной величиной.

Оценку Sr среднего квадратического отклонения производят аналогичным способом с учетом равенств

где величины в скобках определяют для следующих точек абсцисс х-:

F'(x')% = Ф2а,) • 100

X.' -X

0,5

69,2

2(х,'] -X)

1

84,1

х;2

Х-2

2

97,7

o,5(xt;-x)

Находим:

  • 1) для F*(jCj) = 69,2% xj = 1,579 мм;
  • 2) для F*(x2) = 84,1% х2 = 1,584 мм;
  • 3) для F'txj) = 97,7% Х3 = 1,596 мм.

Соответственно

По формуле (1.92) Sr = (1/3) (0,0345) ~ 0,0115 мм, т.е. незначительно отличается от ранее вычисленного S = 0,011252 мм.

Вероятностная бумага логарифмически нормального закона построена с той же функциональной шкалой ординат, а равномерная шкала абсцисс заменена логарифмической шкалой.

Нанесение прямой накопленных теоретических частостей и оценка по критериям согласия отличаются от изложенного выше для нормального закона тем, что х- заменяется на lgx,'.

В соответствии с этим по значению F*(x') = 50% находится точка lgx,' = lgX. По значениям F*(x,') = 69,2; 84,1; 97,7%, соответствующим точкам lgx]; lgx2 и lgx^, определяют выборочное среднее квадратическое отклонение Sr(lgx,); при подсчетах соответственно преобразуются формулы (1.91) и (1.92).

Близость обеих линий указывает на отсутствие грубых противоречий с гипотезой о приложимости указанного закона распределения. По нижней шкале абсцисс также определены lgx- = 1,25 (X ~ 17,8 мка); lgx’2 = 1,45 (5 ~ 10,4 мка).

На вероятностной бумаге для закона распределения эксцентрицитета прямая теоретической функции F(t) проходит через начало координат.

Закон эксцентрицитета однопараметрический, поэтому графически достаточно найти оценку среднего значения определением X из соотношения F' ) = 54,7%. Для опытной совокупности X = R ~ 1,25 мм, что на 0,0011 мм отличается от расчетной величины.

Нанесение точек уДх') по опытным значениям х-, оценка разницы в частостях и т.д. производятся аналогично предыдущему.

Статистическую характеристику X определяют как абсциссу х-, соответствующую ординате *(*,') = 63,2%.

Экспериментальная линия построена по накопленным частостям, образованным из опытных частот п, (рис. 1.13) по формуле (1.90).

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >