Проверка гипотезы адекватности модели при наличии повторных испытаний в точках плана

Задача проверки гипотезы адекватности модели (для случая, когда матрица плана В = (х°) (i = 1, 2,..., к; и = 1,..., N0) является матрицей плана факторного эксперимента с кратными повторными наблюдениями. ЕслиХ0 = (х°) (i = 0,1, ...,р0; и = 1,2, ..., N) является матрицей независимых переменных, удовлетворяющей условиям (4.26), то гипотеза Я0 отклоняется при выполнении неравенства

л ^ N° 1 m где r = p0 + 1; p; = — X x°uyu (; = 0,1,..., p0); у, = —Хук (i = ‘ i40l,=i -1 m s=i

= 1,2, ...,JV).

Предположим теперь, что в центре плана также имеются повторные наблюдения у ,°,yf ???>Уп0> т-е-

гдeD0 = (х°) (i = 1, 2, ..., к; и = 1, 2,..., Я0); N0 = тп является матрицей факторного плана с повторными наблюдениями {y(s}; 0 — нулевой матрицей порядка п0хк. Очевидно, что В = (xlu) (i = 1, 2, ..., к; и = 1, 2, ..., N0) — матрица размера Nx к, где N = N0 + п0.

Несмещенная оценка параметра а2 в этом случае равна

При/(О, О, О) = Pq матрица независимых переменных X = (xju) (j = 1, 2, ..., р0; и = 1,2, ..., N) удовлетворяет условиям

Оценка параметра а2, связанная с неадекватностью модели, равна

п Ро Л Л

где г = р0 + 1; Qi = m?y2 + n0y02-N0Z (р.°)2-ЖРо)2, причем

(=i ;=i

Гипотеза Н0 отклоняется, если где п, = JV- (п + 1).

Пример 4.4

Активный компенсатор (рис. 4.12) представляет собой устройство для создания постоянного коронного разряда между заостренным коронирующим электродом и коллектором. Коллектор электрически соединен с корпусом летательного аппарата; на коронирующий электрод от источника высокого напряжения подается потенциал <ри, знак которого совпадает с полярностью избыточного заряда летательного аппарата. Величина потенциала ф„ подбирается такой, которая обеспечивает поддержание коронного разряда. Заряженные частицы, возникающие во внешней области коронного разряда, потоком обтекающего его газа или внешними электрическими полями, например полем объемного заряда реактивной струи, выносятся в окружающее пространство, обеспечивая уменьшение заряда на летательном аппарате.

В задаче приводятся результаты экспериментального исследования влияния некоторых конструктивных и рабочих параметров активного компенсатора на ток выноса 1к и ток разряда

Схема активного компенсатора [37]

Рис. 4.12. Схема активного компенсатора [37]:

1 — коронирующий электрод; 2 — коллектор; 3 — высоковольтный источник; 4 — потенциал и; 5 — ток разряда /и; 6 — ток компенсатора 1к; 7 — корпус самолета

В качестве управляемых параметров (факторов) рассмотрены следующие пять величин: диаметр внешнего электрода d, вынос иглы за срез внешнего электрода /, длина внешнего электрода h (1г = l-h), разность потенциалов между иглой и внешним электродом (р (или отношение (p/d) и давление в магистрали сжатого воздуха р, определяющее скорость обдува иглы и.

Цель исследования состояла в определении влияния выбранных факторов на величину тока выноса и тока иглы, а также в определении условий, обеспечивающих максимальные токи выноса из изолированного и удаленного от земли источника. Для решения поставленных задач было решено использовать методы теории планирования эксперимента —8], в частности, методы ДФЭ, ПФЭ и метод Бокса — Уильсона для поиска оптимума.

Для построения линейных уравнений регрессии вида [37]

был применен дробный факторный эксперимент типа 25-2, являющийся четвертьрепликой от полного факторного эксперимента 25. Число опытов, необходимое для построения уравнений (4.32) и (4.33), равно N = 23 = 8. На основании предварительных экспериментальных данных были выбраны основные при планировании исходные данные, а именно центр плана — исходная точка в пятифакторном пространстве и диапазон варьирования факторами. Условия каждого эксперимента определяются матрицей планирования. Прежде чем составить матрицу планирования, необходимо для факторов перейти к безразмерным величинам по формуле

где г, — исходная величина г-го фактора, z,0 — значение фактора в центре плана, Дг; — шаг варьирования, х, — безразмерное значение фактора. Индексы i = 1, 2, 3, 4, 5 присвоены соответственно факторам d, I, h, /d, p.

В табл. 4.30 сведены исходные условия эксперимента, а также значения управляемых факторов на верхнем и нижнем относительно центра плана уровнях. В безразмерных переменных верхний уровень равен +1, а нижний уровень равен -1.

Таблица 4.30. Результаты наблюдений [37]

Размерный фактор

d, см

1, см

h, см

(p/d, см

Р,

атм

р атм

Безразмерный фактор

*3

х4

*5

*6

Центр плана zl0 (хi = 0)

0,6

0,0

0,6

8

1

1

Шаг варьирования Az,

0,2

0,2

0,3

1

0,2

0,4

Верхний уровень (xi = +1)

0,8

0,2

0,9

9

1,2

1,4

Нижний уровень (xi = -1)

0,4

-0,2

0,3

7

0,8

0,6

В ходе эксперимента пятый фактор — давление в магистрали сжатого воздуха р изменялся на два различных шага варьирования Д% = 0,2 и AZj = 0,4 атм. Все условия и результаты экспериментов, соответствующие второму шагу варьирования, в дальнейшем будут обозначаться звездочкой. Из 25 = 32 возможных сочетаний пяти факторов на крайних уровнях ПФЭ четвертьреп- лику (8 опытов) можно выбирать различным образом. В данном случае основой четверть реплики 25"2 являлся полный факторный эксперимент 23 для трех первых геометрических факторов, а в качестве генерирующих соотношений были выбраны

Такой выбор факторов определился различной трудоемкостью изменения уровней этих факторов (изменение уровней х,, х3 сопряжено с изготовлением новой модели, уровня х2 — с перемонтажом установки, уровней х4 и х5 — только с изменением режима работы).

На основании (4.35) находятся определяющие контрасты

позволяющие оценить схему смешивания эффектов, т.е. установить, оценками каких коэффициентов генеральной совокупности («истинных» коэффициентов) будут являться найденные из эксперимента коэффициенты регрессии.

Если через Ь, обозначить коэффициенты, найденные из эксперимента, а через pf — коэффициенты генеральной совокупности, то разрешающая способность выбранной четвертьреплики определится системой оценок

Матрица планирования ДФЭ 25-2, дополненная точкой, снятой в центре плана, приведена в табл. 4.31.

Таблица 4.31. Матрица планирования ДФЭ 25'2, дополненная точкой, снятой в центре плана [37]

N

*0

хг

*2

*3

*4

*5

К

I*

Кг

Кг

К

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1

+ 1

-1

-1

-1

+ 1

-1

0,95

0,71

3,9

3,5

3,7

2

+ 1

-1

-1

+ 1

-1

+ 1

1,8

2

3

3,3

3,15

3

+ 1

-1

+ 1

-1

-1

+ 1

1,6

3,05

4,55

7,5

6,05

4

+ 1

-1

+ 1

+ 1

+ 1

-1

0,9

0,65

35

37,5

36,3

5

+ 1

+i

-1

-1

+ 1

+1

3,87

9,7

33,5

31,5

32,5

6

+ 1

+i

-1

+ 1

-1

-1

2,28

1,65

31,5

29,5

30,5

7

+ 1

+i

+ 1

-1

-1

-1

2,74

1,92

17

18,5

17,8

8

+ 1

+i

+ 1

+ 1

+ 1

+ 1

3,6

10,5

60

62

61

9

+ 1

0

0

0

0

0

2,27

2,28

28,5

28,5

28,5

Каждая из девяти строк матрицы соответствует условиям одного из девяти опытов в этой серии экспериментов. В столбцах 3—7 приведены безразмерные значения факторов х1; х2, х3, х4, х5. Порядок проведения опытов в работе выбирался из технологических соображений — удобства изменения величины факторов в эксперименте.

В столбцах 8—12 приведены результаты экспериментов: ток выноса 1к и ток иглы 1и (/ц1,1и2 — значения, снятые в повторных измерениях, Iu — осреднение по этим двум измерениям). Значения тока приведены в мкА. В дополнение к этим девяти опытам в одной точке пятифакторного пространства с координатами (1, 1, -1, 1, 0) трижды в разное время измерялись ток выноса и ток иглы. Результаты этих измерений оказались следующими:

Повторные опыты позволили определить дисперсию воспроизводимости, которая характеризует ошибку измерения и необходима для статистического анализа результатов. Дисперсия воспроизводимости находится по формулам

где S2 — исправленные дисперсии выборок, S — исправленные среднеквадратические отклонения, а / — степень свободы для найденных дисперсий.

Коэффициенты уравнения регрессии вычисляются по формулам

где m — номер эксперимента, i — номер безразмерного фактора.

Величины л:, = f,, 1кт и /ит берутся из табл. 4.29 по формулам (4.41) и по результатам измерений токов выноса и тока иглы, приведенным в столбцах 8, 9 и 10, были вычислены коэффициенты уравнений линейной регрессии функций 1к, 1к и 7„. Значения вычисленных коэффициентов приведены в табл. 4.32.

Таблица 4.32. Коэффициенты уравнений линейной регрессии

I

i

0

1

2

3

4

5

Ькр

h

bik

2,22

0,905

0,0075 -

0,072

0,112

0,5 0,47

  • ?*

bl

3,27

1,66

0,76

0,43

1,12

2,16 0,47

1

biu

23,56

11,94

5,58

8,82

9,54

1,7 6,9 (3,24)

Величина линейных коэффициентов показывает степень влияния соответствующего фактора на изучаемую функцию отклика. Некоторые коэффициенты малы по сравнению со свободным членом и с другими коэффициентами. Можно ли ими пренебречь, поможет выяснить статистический анализ значимости по критерию Стьюдента. При уровне значимости у = 0,05 и для числа степеней свободы / = 2 критическое значение критерия Стьюдента tKp = 4,3. Найденные ранее (4.40) значения среднеквадратических отклонений S, и S, для тока выноса и тока иглы позво- ляют определить доверительный интервал и найти критические значения коэффициентов уравнения регрессии по формуле

Учитывая слабое, практически незначимое, влияние давления на ток иглы, можно оценить дисперсию воспроизводимости величины тока иглы по результатам анализа столбцов 10 и 11 в табл. 4.29. В столбце 12 приведены средние значения двух измерений 10 и 11. Однородность дисперсий определялась по критерию Кохрена [38]. Наблюдаемое значение критерия Кохрена равно отношению наибольшей дисперсии к сумме всех дисперсий. Дисперсия определялась по формуле (4.40), и критерий Кохрена составил

Критическое значение критерия Кохрена при уровне значимости у = 0,05 и степенях свободы fx = 2,f2 = 8 определяется по приложению 6 и составляет

Так как G < Скр, следовательно, дисперсии однородны и дисперсия воспроизводимости находится как среднее

Сравнение среднеквадратического отклонения для тока иглы, найденного по трем измерениям и равного S, = 1,6 (число степеней свободы/= 2), со среднеквадратическими отклонением, найденным по 8 парам измерений (4.44) и равным S** = 1,4 (f ** = 8), показывает, что трех измерений для оценки дисперсии достаточно. Увеличение числа степеней свободы позволяет найти менее грубую оценку для критического значения коэффициента уравнения регрессии, а именно

Это значение приведено в табл. 4.32 в скобках. Сравнивая коэффициенты уравнений регрессии и полагая незначимые коэффициенты, удовлетворяющие условию Ь, < Ькр, равными нулю, получим в безразмерных переменных уравнения регрессии для тока выноса и тока иглы

Проведем второй этап статистического анализа результатов обработки эксперимента, а именно — проверку адекватности уравнений регрессии. По данным табл. 4.31 были вычислены значения токов выноса и тока иглы для каждого из восьми условий эксперимента подстановкой их в уравнение регрессии (4.47), (4.48) и (4.49). Далее были найдены разность и квадрат разности между вычисленными по уравнению регрессии и полученными в экспериментах значениями тока. Сумма квадратов этих разностей позволяет вычислить остаточные дисперсии по формуле

где N — число опытов, г — число значимых коэффициентов в уравнении регрессии,/ост — число степеней свободы:

Адекватность уравнений проверяется при помощи критерия Фишера. Наблюдаемые значения критерия Фишера для трех рассматриваемых случаев составляют

Критические значения критерия Фишера, определяемые по таблицам, например [37], при уровне значимости у = 0,05 соответственно составляют

Сравнивая соответствующие наблюдаемые и критические значения критерия Фишера, можно сделать вывод, что F, > FKp,

Ъ > Fkp’ < F*p'

Следовательно, уравнения (4.47) и (4.49) с уровнем значимости у = 0,05 могут считаться адекватными, а уравнение (4.48) является неадекватным экспериментальным данным. Неадекватность уравнения (4.48) связана, по-видимому, с увеличением шага варьирования, т.е. с расширением области факторного пространства, в которой строится линейная модель.

Другим приближенным и простейшим способом оценки адекватности уравнений является сравнение свободного члена уравнения с результатами опыта в центре плана (девятый эксперимент) . Значение тока в центре плана — оценка свободного члена. С другой стороны, свободный член уравнения регрессии является оценкой свободного члена уравнения регрессии генеральной совокупности [)0 совместно с суммой коэффициентов при квадратичных членах Х()„. Поэтому разность

является оценкой суммы квадратичных коэффициентов и может служить мерой кривизны поверхности. Эта величина для трех случаев (4.47), (4.48) и (4.49) составила

Сравнивая эти величины с соответствующими дисперсиями, можно заключить, что кривизна поверхности отклика для (4.48) значительна и линейное уравнение регрессии в этом случае неприемлемо.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >