Дедуктивное опровержение

Дедуктивное опровержение различают в зависимости от того, что опровергается — тезис, аргументы или демонстрация.

При опровержении тезиса доказывается его ложность.

При опровержении аргументов или демонстрации обосновывается только недоказанность тезиса, которую нельзя путать с его ложностью.

Тезис может быть истинным, даже если аргументы ложные. Опровержение имеет вид следующего умозаключения:

Опровержение аргументов и демонстрации обосновывает не ложность тезиса, а только его недоказанность. Оно принимает вид такого умозаключения:

Недоказанность тезиса означает, что мы не можем приписать ему ни значение «истинно», ни значение «ложно». Доказывая ложность аргументов нашего оппонента, мы лишаем его возможности категорически утверждать истинность обсуждаемого тезиса.

Умозаключение (5) показывает, что отношения «следовать с необходимостью» и «доказывать» не являются в общем эквивалентными: не все, что непременно следует, доказывается; но обратное всегда верно.

Опровержение демонстрации строится как умозаключение:

Эффект опровержения демонстрации тот же, что и опровержения аргументов, — обосновывается лишь недоказанность тезиса.

Итак, для дедуктивной демонстрации принципиальное значение имеет истинность аргументов. Она важна как для доказательства, так и для опровержения. Кроме того, необходимо, чтобы или тезис, или антитезис был логическим следствием аргументов. Эти две особенности определяют специфику дедуктивного доказательства и опровержения.

При построении доказательств и опровержений следует также учитывать ряд особенностей.

  • 1. Для доказательства общего тезиса необходимо и достаточно опровержение частного антитезиса.
  • 2. Для опровержения общего тезиса необходимо и достаточно доказательства частного антитезиса.
  • 3. Для доказательства общего тезиса необходимы только общие аргументы (относящиеся ко всем предметам универсума).
  • 4. Для доказательства частного тезиса необходимо и достаточно установить существование хотя бы одного объекта предмета универсума, обладающего свойствами субъекта и предиката (для частноутвердительных суждений), и обладающего свойствами субъекта и отрицания предиката (для частноотрицательных суждений).

Остальные рекомендации приводятся далее по ходу анализа конкретных примеров.

Пример 1

Допустим, требуется доказать прямым способом тезис Д - «Мы хвалим обычно лишь для того, чтобы услышать похвалу себе» (Франсуа деЛарошфуко). Приводим тезис к нормальной форме: (/='«люди», А - - «люди, которые хотят услышать похвалу себе», С - «люди, которые хвалят других», /3 - «Все А есть С».

Построить прямое доказательство указанного тезиса, представляющего общеутвердительное суждение, означает обосновать, что каждая вещь, обладающая признаком А, также обладает и признаком С. Но поскольку связь Л и С неочевидна, требуется доказательство. С чего же его начинать? С поиска аргументов, проясняющих связь между признаками А и С.

Если логический переход от субъекта тезиса А к его предикату С неочевиден, его разбивают на несколько коротких, но зато более выраженных переходов от А к X, от X к Y... от Z к С (где X... Z — признаки, отличающиеся как друг от друга, так и от Л и С), каждый из которых формулируется в виде отдельного аргумента. Иными словами, каждый аргумент — это некоторый ранее доказанный или очевидный в силу каких-то других причин переход от одного признака к другому. Минимальное доказательство требует всего двух аргументов — для обоснования переходов от Л к X и от X к С. В общем случае число аргументов прямо пропорционально требованию очевидности, т. е. чем более хотят прояснить доказательство, тем больше приводят аргументов, очевидных для аудитории.

Общее направление их поиска задается следующим вопросом: «Какое свойство X связывает Л и С, чтобы:

  • • свойство X было необходимо для Л;
  • • свойство С было необходимо для X?».

Если признака X оказалось недостаточно для построения очевидного доказательства, отыскивается новый признак Y: «Какое свойство КсвязываетХиСтаким образом, что 1)свойство Y необходимо для X; 2) свойство С необходимо для У?». Поиск аргументов продолжается до тех пор, пока переход от Л к С не будет представлен в виде цепочки более коротких и очевидных переходов согласно известной аксиоме силлогизма:

В анализируемом примере признаком, промежуточным между Л и С и удовлетворяющим указанным требованиям, будет X - «Люди, которые отличаются тщеславием и нуждаются в публичном признании своих реальных или мнимых достоинств». Так как промежуточный признак один, появляются два аргумента:

  • • а, - «Все люди, которые хотят услышать похвалу себе, есть люди, которые отличаются тщеславием и нуждаются в публичном признании своих реальных или мнимых достоинств»;
  • • <*2 - «Все люди, которые отличаются тщеславием и нуждаются в публичном признании своих реальных или мнимых достоинств, есть люди, которые хвалят других».

Строим и проверяем силлогизм:

а, - «Все А есть X».

<*2 - « Все X есть С».

fi= «Все А есть С».

Так как аргументы истинны (очевидны) и тезис следует из них с необходимостью, то его, согласно умозаключению (1), следует считать доказанным прямым способом.

Пример 2

Доказать первым косвенным способом тезис /3 = «Мы хвалим обычно лишь для того, чтобы услышать похвалу себе». Чтобы доказать таким способом тезис, необходимо опровергнуть антитезис -Д = «Существует человек, который хочет услышать похвалу себе, но при этом не хвалит других людей». Приведенный к нормальной форме (см. предыдущий пример), антитезис символизируется следующим образом: «Некоторые А не есть С».

Для опровержения антитезиса необходимо доказать, что подобных людей существовать не может, т. е. что ни одному А не присуще свойство —1 Сш «люди, которые не хвалят других». Это равносильно доказательству, что Л и несовместимы. Несовместимость в косвенных доказательствах становится критерием их успешности.

Для проверки несовместимости А и допускаем, что антитезис истинный: предположим, что существует хотя бы один человек, который хочет услышать похвалу себе, но при этом не хвалит других людей, — и присоединяем его к уже известным аргументам (см. первый пример) а, и а2

Строим сложный силлогизм, где X - «Люди, которые отличаются тщеславием и нуждаются в публичном признании своих реальных или мнимых достоинств»:

—i/З - «Некоторые А не есть С».

а, - «Все Л естьХ».

а2 = «Все X есть С».

Противоречие. Следовательно, антитезис ложен, а тезис /3 истинный.

Из аргументов а, и обследует суждение «Все А есть С», которое противоречит временно принятому антитезису «Некоторые А не есть С». ?Так как аргументы истинны, то ложным считается антитезис, из чего согласно умозаключению (2) следует косвенное доказательство тезиса Р = «Все А есть С».

Пример 3

Доказать вторым косвенным способом тезис /3 = «Мы хвалим обычно лишь для того, чтобы услышать похвалу себе».

При косвенном доказательстве вторым способом антитезис формулируется в виде множества взаимоисключающих альтернатив, которые вместе с тезисом исчерпывают все решения поставленной проблемы. Если тезис утверждает, что все люди, которые хотят услышать похвалу себе, хвалят других людей, то его альтернативы таковы:

  • • ->/3, = «Некоторые люди, которые хотят услышать похвалу себе, порицают других людей»;
  • • —1/?2 = «Некоторые люди, которые хотят услышать похвалу себе, не хвалят и не порицают других людей».

Логическая сумма —i/З, и -i/32 исчерпывает все возможные случаи общего антитезиса -п/З = «Некоторые люди, которые хотят услышать похвалу себе, не хвалят других людей».

Таким образом, при косвенном доказательстве вторым способом задача сводится к опровержению не общего антитезиса, как при косвенном доказательстве первым способом, а всех его частных случаев.

Приводим -i/3j и -IР2 к нормальной форме: —iC, = «люди, которые порицают других»; -*С2 = «люди, которые не хвалят и не порицают других», -.Д = «Некоторые/! есть-iC,»,-i/32 = «Некоторые А есть-iC,». Для опровержения -./3, и —1/32 необходимо доказать, что А несовместимо как с —1 Cv так и с -iC2, а значит и с -iС. Напомним, что промежуточным признаком выступает X = «Люди, которые отличаются тщеславием и нуждаются в публичном признании своих реальных или мнимых достоинств». Имеем следующие аргументы: а, = «Все А есть и = = «Все Xесть С».

Строим и проверяем два силлогизма (для -фЗ, и ->/32 последовательно): ->/3, = «Некоторые А есть -.С,», а, - «Все/! естьX».

Oj - «Все X есть С».

Противоречие. Антитезис ->Д опровергается.

-,/32 ” «Некоторые/! есть -iC2». в, - «Все А есть X». otj = «Все X есть С».

Противоречие. Антитезис —1/32 опровергается.

Из трех взаимно исключающих и совместно исчерпывающих альтернатив Д —,/3, и —)Д2 последние две оказались опровергнутыми (исключенными). Следовательно, тезис /3 согласно умозаключению (3) можно считать косвенно доказанным.

Пример 4

Построить опровержение тезиса /3= «Число 4 простое». Приводим его к нормальной форме: ?/ = «натуральные числа», А - «равные 4», С - = «простые», /3 ” «Все А есть С».

Опровергнуть прямым способом тезис /3 означает обосновать противоречивость (несовместимость) связи признаков А и С. Ищем признаки, необходимым образом связанные с А и С: X = «делиться только на себя и на 1», У- «делиться на себя, на 1 и 2». Так как промежуточных признаков два, то получаем три аргумента: а, = «Только С есть X», а2 - «Все А есть У», а, = «Ни один Yне есть X».

Строим и проверяем сложный силлогизм:

/3- «Все/1 есть С», а, ™ «Только С есть X». а2 = «Все А есть К».

- «Ни один У не есть X».

Противоречие. Тезис fi опровергается.

Из аргументов а,, а2 и а,следует истинность общего суждения: «Ни одно А не есть С». Из его истинности следует истинность частного суждения: «Некоторые Л не есть С», которое противоречит тезису /3и опровергает его.

Пример 5

«Вы изволили сочинить, что человек произошел от обезьянских племен мартышек, орангуташек и т. п. Простите меня, старичка, но я с Вами касательно этого пункта не согласен и могу Вам запятую поставить. Ибо, если человек, властитель мира, умнейшее из дыхательных существ, произошел от глупой и невежественной обезьяны, то у него был бы хвост и дикий голос» (А. П. Чехов «Письмо к ученому соседу»).

Рассуждение чеховского героя содержит опровержение, в котором U - «живые существа», А - «люди», В - «произошедшие от обезьян», С - «имеющие хвост и дикий голос». Опровергаемым тезисом будет суждение «Все люди произошли от обезьян», т. е. 0 = «Все А есть В». Первым аргументом становится суждение «Все живые существа, произошедшие от обезьян, обязаны иметь хвост и дикий голос», т. е. а{ = = «Все В есть С». Вторым аргументом следует считать суждение «Люди не имеют хвоста и дикого голоса», т. е. = «Ни одно А не есть С». Второй аргумент в явном виде не присутствует в рассуждении, но подразумевается как самоочевидный факт.

Опровержение строится как доказательство несовместимости тезиса с аргументами а, и (%, т. е. по схеме (4).

Для проверки образуем следующее сложное умозаключение:

Р= «Все Л есть В». а, - «ВсеВесть С».

<*2 - «Ни одно А не есть С».

Несовместимость. Тезис /3 опровергается.

Из аргументов а, и с^следует истинность общего суждения «Ни одно А не есть В» и тем самым истинность частного суждения «Некоторые А не есть В». Из истинности последнего следует опровержение тезиса 0.

В отличие от чеховского героя мы посчитали бы первый аргумент ложным. В этом случае опровержение теряет свою силу, т. е. ложность тезиса остается недоказанной.

Пример 6

Все, что требует желудок, тело или ум, —

все человеку представляет ГУМ (В. В. Маяковский). Приведенный рекламный текст содержит прямое доказательство, в котором U = «магазины», А = «с товарами для желудка, тела и ума», В = «которые стоит посещать», С = «называемые ГУМом».. Мы не ошибемся, если в качестве тезиса определим суждение «ГУМ — универмаг, который стоит посетить», т. е. Р = «Все С есть В». Первым аргументом выступает суждение «Магазины, в которых есть товары для желудка, тела и ума, стоит посещать», т. е. ах = «Все А есть В». Вторым аргументом, учитывая цель рекламы, будет суждение «Только в ГУМе имеются товары для желудка, тела и ума», т. е. - «Только С есть Л». Прямое доказательство предполагает логическое следование тезиса из истинных аргументов. Для проверки этого построим следующий простой силлогизм:

а, * «Все Л есть В».

а? - «Только С есть Л».

/3=* «Все Сесть 5».

Силлогизм правильный. Следовательно, тезис Д согласно умозаключению (1) доказан прямым способом.

Пример 7

«Снова завладеть однажды потерянным благом лучше, чем никогда не утрачивать его. Ибо мы лучше ценим его благодаря воспоминанию о том времени, когда были лишены его. Поэтому лучше выздороветь, чем не быть больным».1

Приведенное рассуждение содержит прямое доказательство, в котором [/- «люди», Л - «снова завладевшие однажды потерянным благом», В - «ценящие вернувшееся благо выше, чем благо никогда не терявшееся, благодаря воспоминанию о том времени, когда были лишены его», С = «выздоровевшие», D - «ценящие вернувшееся здоровье выше, чем здоровье, никогда не терявшееся». Тезис — это суждение: «Все выздоровевшие люди, ценящие вернувшееся здоровье выше, чем здоровье, никогда не терявшееся», т. е. р = «Все С есть D». Суждение «Все люди, снова завладевшие однажды потерянным благом, есть люди, ценящие вернувшееся благо выше, чем благо, никогда не терявшееся, вследствие воспоминаний о том времени, когда были лишены его» — первый аргумент, т. е. а, = «Все Л есть В». Суждение «Все выздоровевшие есть люди, снова завладевшие однажды потерянным благом» представляет собой второй аргумент, т. е. а2 * «Все С есть Л». Суждение «Все ценящие вернувшееся благо выше, чем никогда не терявшееся, благодаря воспоминанию о том времени, когда были лишены его, есть люди, ценящие вернувшееся здоровье выше, чем здоровье никогда не терявшееся», представляет третий аргумент, т. е. ctj в «Все

' Гоббс Т. Сочинения: В 2 т. - М., 1989. Т. 1. С. 246.

В есть D». Для проверки следования тезиса из перечисленных аргументов строим следующий сложный силлогизм:

а, - «Все А есть В».

Oj - «Все С есть Л».

Од = «В есть D».

Р = «Все С есть D».

Силлогизм правильный. Следовательно, тезис р согласно умозаключению (1) доказан прямым способом.

Пример 8

«То, — говорит он [стоик Зенон Китионский. — В. С.], что лишено души и разума, не может породить из себя одушевленное и владеющее разумом. Мир же порождает одушевленное и владеющее разумом. Следовательно, мир должен быть одушевленным и владеющим разумом»[1].

Приведенное рассуждение содержит прямое доказательство тезиса, в котором U = «вещи», А = «лишенные души и разума», В - «способные породить из себя нечто одушевленное и владеющее разумом», С = = «представляющее собой мир». Тезисом выступает суждение «Мир есть одушевленная и владеющая разумом вещь», т. е. Р = «Все С есть -?Л». Первый аргумент — суждение «Ни одна вещь, лишенная души и разума, не есть вещь, способная породить из себя нечто одушевленное и владеющее разумом», т. е. а, = «Ни одно А не есть В*. Второй аргумент — суждение «Мир порождает одушевленное и владеющее разумом», т. е. а2 - «Все С есть В». Проверяем следование тезиса из названных аргументов:

а, = «Ни одно А не есть В».

etj - «Все Сесть В».

Р = «Все С есть -А».

Так как тезис следует из аргументов и последние, согласно Зенону, истинны, этот тезис следует считать доказанным. Но в приведенном доказательстве бесспорен только второй аргумент. Истинность же первого сомнительна с научной точки зрения. Поэтому хотя тезис и следует из аргументов, его доказанность остается под вопросом.

Пример 9

«Итак, предположим, что все тела уничтожены. То, что остается, называют абсолютным пространством; при этом все отношения, следующие из расположения тел и расстояний между телами, исчезли вместе с телами. Кроме того, такое пространство является бесконечным, неподвижным, неделимым, не воспринимаемым чувствами, лишенным связей и различий. Другими словами, все его атрибуты отрицательны, или негативны. Таким образом, оказывается, что это есть просто ничто. Единственное несущественное затруднение состоит в том, что оно протяженно, а протяженность — положительное качество. Но что это за протяженность, я спрашиваю, которая не может быть ни разделена, ни измерена, любая часть которой недоступна ни чувственному восприятию, ни воображению?.. Чистый интеллект также ничего не знает об абсолютном пространстве. Эта способность находится в соотношении только с духовными иепротяженными вещами, такими как наши мысли, их модусы, страсти, добродетели и т. п. Уберите из абсолютного пространства само название, и от него ничего не останется ни в чувстве, ни в воображении, ни в интеллекте»[2].

В приведенном рассуждении опровергается введенное И. Ньютоном понятие абсолютного пространства. Здесь U = «вещи и их отношения друг к другу», А “ «существующие», В " «наблюдаемые, измеримые, познаваемые», С = «образующие абсолютное пространство». Тезисом выступает суждение «Абсолютное пространство существует», /? = «Некоторые С есть А». Первый аргумент — суждение «Все существующие вещи есть вещи, наблюдаемые, измеряемые, познаваемые», а, = «Все А есть В». Второй аргумент — суждение «Абсолютное пространство есть вещь, но непознаваемая, неизмеряемая, ненаблюдаемая», а2 = «Все С есть -IВ». Опровержение строится как доказательство несовместимости тезиса с истинными аргументами. Для проверки построим следующий сложный силлогизм:

Р - «Некоторые С есть А», а, - «Все А есть В». ctj = «Все С есть -тВ».

Противоречие. Тезис /3 опровергается.

Таким образом, Дж. Беркли рассуждал в приведенном отрывке согласно умозаключению (4).

Пример 10

«— Общие рассуждения! — продолжал Пигасов. — Смерть моя — эти общие рассуждения, обозрения, заключения! Все это основано на так называемых убеждениях; всякий толкует о своих убеждениях и еще уважения к ним требует, носится с ними... Эх!

И Пигасов потряс кулаком в воздухе. Пиндалевский рассмеялся.

  • — Прекрасно! — промолвил Рудин. — Стало быть, по-вашему, убеждений нет?
  • — Нет — и не существует.
  • — Это ваше убеждение?
  • -Да.
  • — Как же вы говорите, что их Нет? Вот вам уже одно, на первый случай.

Все в комнате улыбнулись и переглянулись» (И. С. Тургенев «Рудин»),

Приведенный диалог интересен тем, что один из его участников, Пигасов, пытаясь обосновать свою точку зрения, приводит противоречивое множество аргументов и тем самым оставляет свой тезис без доказательства. Чтобы увидеть это, формализуем процесс рассуждения. Пусть U = «рассуждения», Л = «общие», В = «пустые», С = «основанные на убеждениях». Тезис, который Пигасов пытается обосновать, представляет суждение «Все общие рассуждения — пустые», /3 = «Все А есть В».

Убеждения, согласно Пигасову, составляют необходимое условие истинности общих рассуждений. Первым аргументом поэтому оказывается суждение «Все общие рассуждения есть рассуждения, основанные на убеждениях», а( = «Все Л есть С». Вторым аргументом — мысль Пигасова о том, что убеждений не существует. Она высказывается так: «Все рассуждения, основанные на убеждениях, есть пустые (т. е. несуществующие) рассуждения», а2 - «Все С есть В». К этим аргументам в пылу полемики Пигасов добавил еще один, разрушивший построенную демонстрацию. Им стала мысль, что некоторые убеждения существуют. Она выражается суждением «Некоторые рассуждения, основанные на убеждениях, есть непустые (т. е. существующие) рассуждения», a.j = «Некоторые С есть -лВ». Чтобы проверить противоречивость выдвинутых аргументов, построим следующий сложный силлогизм:

а, = «Все Л есть С».

— «Все Сесть В».

Oj = «Некоторые А есть ->В».

Множество аргументов а противоречиво.

Итак, аргументы Пигасова образуют противоречие. Как мы знаем, любое суждение есть логическое следствие противоречивой системы посылок. Следовательно, тезис Пигасова следует из его аргументов, но ими не доказывается.

Еще раз убеждаемся, что логическое следование из аргументов не означает доказательство.

Пример 11

«Установивдакое начало [что мир есть тело в высшей степени совершенное, упорядоченное. — В. С.], мы можем непосредственно из него сделать тот вывод, что если тела, составляющие Вселенную, должны по природе своей обладать движением, то невозможно, чтобы движения их были прямолинейными и вообще какими бы то ни было, кроме как круговыми; основание этого просто и ясно. Ведь то, что движется прямолинейным движением, меняет место, и если движение продолжается, то движущееся тело все больше и больше удаляется от своей исходной точки и от всех тех мест, которые оно последовательно прошло; а если такое движение ему естественно присуще, то оно с самого начала не находилось на своем естественном месте, и значит части вселенной не расположены в совершенном порядке; однако мы предполагаем, что они подчинены совершенному порядку; значит невозможно допустить, чтобы им, как таковым, по природе было свойственно менять места, т. е., следовательно, двигаться прямолинейно»[3].

В приведенном рассуждении Галилея объединены вместе прямое и косвенное доказательство естественности кругового движения. Пусть ?/“ «движения», Л - «естественные», В - «круговые», С - «подчиненные совершенному порядку». Доказываемым тезисом служит суждение «Естественное движение является круговым», т. е. /3 - «Все Л есть В». Первый аргумент — суждение «Естественное движение подчиняется совершенному порядку», т. е. а{ = «Все Л есть С». Второй аргумент — суждение «Движение, подчиненное совершенному порядку, является круговым», т. е. а> = «Все С есть В». Прямое доказательство требует, чтобы тезис следовал из аргументов. Проверим это:

а, - «Все Л есть С».

0L = «Все С есть В».

/3~ «Все Л есть В».

Итак, тезис следует из аргументов, которые истинные. Следовательно, истинность тезиса доказана прямым способом.

Косвенное доказательство строится как обоснование невозможности прямолинейного движения, т. е. как обоснование ложности антитезиса.

Антитезисом будет суждение «Некоторые естественные движения не являются круговыми», т. е. -i/3 = «Некоторые Л не есть В». Для косвенного доказательства обязательное требование — несовместимость аргументов с антитезисом. Проверим, выполняется ли это условие:

-./? “ « Некоторые А не есть В>. а, - «Все Л есть С». а2 - «Все С есть В*.

Противоречие. Антитезис -»/3 ложный. Тезис р истинный.

Аргументы несовместимы с антитезисом и истинны. Следовательно, косвенно доказано, что тезис истинный.

Косвенное доказательство оказывается избыточным, когда имеется прямое. Но вместе, как свидетельствует рассуждение Галилея, они усиливают психологическое восприятие истинности тезиса. А это иногда не менее важно, чем логически обоснованное доказательство.

  • [1] Цицерон. Философские трактаты. — М„ 1985. С. 107.
  • [2] Беркли Дж. Сочинения. М„ 1978. С. 379.
  • [3] Галилей Г. Избранные труды: В 2 т. — М., 1964. Т. 1. С. 115-116.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >