Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Логика arrow ЛОГИКА
Посмотреть оригинал

Логически истинные, логически ложные и логически нейтральные формулы

Все формулы Л В подразделяются на два взаимоисключающих и совместно исчерпывающих класса — выполнимые и невыполнимые. Среди выполнимых формул выделяются логически истинные и логически нейтральные.

Таблица 6.4 Формулы логики высказываний

Выполнимые

Невыполнимые

Логически истинные (тавтологии)

Логически нейтральные (правдоподобные)

Логически ложные (противоречивые)

Формула Л В считается выполнимой, если существует хотя бы одна интерпретация (набор значений истинности атомарных формул), в которой она истинна, и невыполнимой в обратном случае.

Формула называется логически истинной, если она истинна во всех своих интерпретациях, т. е. при любых наборах значений истинности своих атомарных формул. Такие формулы также часто называют тавтологиями (от греч. tauto — «то же самое» и logos — «слово, высказывание»), законами логики, логическими истинами, общезначимыми, тождественно истинными. Вероятность логической истины всегда равна единице, т. е. представляет константу. Логические истины максимально достоверны, однако их семантическая информативность равна нулю. Так, хотя истины типа «сегодня понедельник или не понедельник» максимально достоверны, из анализа этого сообщения нельзя узнать, какой же сегодня на самом деле день недели. Все тавтологии сводимы к формулам вида v -уф), где на место ф может подставляться любая формула Л В.

Тавтологию представляет формула (-i(-v4 v -.5) э (Л & В)). Ее таблица истинности имеет следующий вид.

А

В

(—i(—A v —В) з (Л & В))

Т

т

Т F F F Т Т

Г

F

F F Т Т Т F

F

Т

F Т Т F Т F

F

F

F Т Т Т Т F

1

2

6 3 5 4 8 7

Восьмой, заключительный столбец формулы содержит только значение «истина». Значит, какими бы ни были интерпретации, или значения истинности атомарных формул Л и Л, формула v -»Л) э

(Л & В)) всегда истинна.

Формула называется логически ложной (невыполнимой, противоречивой, тождественно ложной), если не существует ни одной интерпретации, т. е. набора значений истинности ее атомарных формул, в которой она была бы истинна. Такие формулы выражают логические противоречия. Вероятность логической лжи всегда равна нулю, т. е., как и логическая истина, она представляет константу. Логически противоречивые высказывания несут бесконечную величину семантической информации. Истории барона Мюнхгаузена читать интересно, но ни одна из них не достоверна. Все логически ложные формулы сводимы к формулам вида & -уф), где на место 0может подставляться любая формула Л В.

Логически ложной будет формула ((-v4 v В) & -»(Л з В)). Ее таблица истинности такова:

А

В

((-Л v В) & ->(А з В))

Т

т

F Т F F Т

Т

F

F F F Т F

F

Т

Т Т F F Т

F

F

Т Т F F Т

1

2

3 4 7 6 5

Седьмой, заключительный столбец формулы содержит только значение «ложь». Значит, какими бы ни были интерпретации, или значения истинности атомарных формул А и В, формула ((-A vB) & -,(Л э В)) всегда ложная.

Формула называется логически нейтральной, если существует хотя бы одна интерпретация, в которой она истинна, и хотя бы одна интерпретация, в которой она ложна. Это означает, что такие формулы не могут быть логически истинными и логически ложными. Они лишь относительно истинны и относительно ложны. Значение их вероятности — величина переменная, колеблющаяся между нулем и единицей и никогда не достигающая указанных пределов. Логически нейтральные формулы правильнее называть правдоподобными.

Логически нейтральная формула — ((Л s В) z> * С)). Ее таблица истинности имеет следующий вид.

A

В

С

T

т

т

Т

F

F

T

г

F

Т

Т

Т

т

F

Т

F

Т

Т

т

F

F

F

Т

F

F

Т

Т

F

Т

F

F

Т

F

F

Т

Т

F

F

Т

Т

Т

Т

F

F

F

Т

F

F

1

2

3

4

6

5

Шестой, заключительный столбец формулы содержит как значение «истина», так и значение «ложь». Значит, формула ((Л = B)z>(B * С)) не будет логически истинной и логически ложной. Следовательно, она — логически нейтральная формула.

Алфавит логики высказываний включает шесть логических союзов. Закономерен вопрос, достаточно ли их количества для формализации любых утверждений естественного языка. Следующая теорема доказывает, что для этих целей на самом деле требуются всего лишь три из них — знаки отрицания, конъюнкции и дизъюнкции.

Теорема 1. Функция истинности любой формулы Л В выразима в терминах логических союзов -i, &, v и логических констант Т(истина) и Е(ложь).

Доказательство. Пусть ф— формула Л В, представляющая некоторую функцию истинности от атомарных формул А и В. По определению, формула ф выполнима или невыполнима. Рассмотрим сначала последнюю возможность.

Если формула ф невыполнима (логически ложная), тогда в последнем столбце ее таблицы истинности содержатся только значения «ложь». Значит, она определяет функцию, согласно которой каждая из атомарных формул А и В противоречит сама себе — & -u4) v (В &

Если формула ф выполнима, тогда в последнем столбце ее таблицы истинности содержится хотя бы одно значение «истина». Значит, формула ^определяет функцию, согласно которой она эквивалентна дизъюнкции некоторых или всех строк таблицы истинности со значением «истина» — (А & Z3) v (А & ~~>В) v (-пА & Z3) v (—iA & —1/3).

Объединяя оба случая, получаем, что независимо от того, выполнима ли произвольная формула ф или невыполнима, ее функция истинности выразима только знаками отрицания, конъюнкции и дизъюнкции, QED

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 
Популярные страницы