Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Логика arrow ЛОГИКА
Посмотреть оригинал

Логика предикатов

Основные понятия и допущения логики предикатов

Если попытаться с помощью логики высказываний доказать корректное умозаключение «Каждый человек любит самого себя (Л). Я— человек (В). Следовательно, я люблю самого себя (С)», то общезначимого вывода (А & В) н С не получится. С посылками & В) совместимо не только заключение С, но и его отрицание. Значит, высказывание С не является необходимым следствием (А & В). Причина этого не в ущербности логики высказываний, а в ее ограниченности. Согласно одному из ее допущений внутренняя структура простых высказываний не учитывается. Поэтому неудивительно, что расширение возможностей формализации было связано прежде всего с отказом от указанного допущения. Это привело к созданию важного обобщения ЛВ, названного логикой предикатов.

Логика предикатов — логика, созданная для анализа умозаключений, в которых истинность заключения зависит не только от истинности посылок, но также и от их внутренней логической структуры.

Для анализа внутренней структуры высказываний в логике предикатов дополнительно к основным понятиям ЛВ были введены следующие:

  • универсум;
  • имя собственное;
  • предметная константа;
  • предметная переменная;
  • предикат, терм;
  • предметная функция;
  • квантор.

Кроме того, использование Л П требует принятия особых допущений.

Как и в традиционной логике, в логике предикатов все вычисления привязаны к понятию универсума.

Универсум U логики предикатов — класс объектов с заданными свойствами и отношениями.

Он задает предметную область интерпретации анализируемого рассуждения, позволяет вычислить его логическое значение. Одним из мотивов возврата к универсуму стала необходимость ввести предмет рассуждения в определенные смысловые границы. Если их не задавать, то кванторные выражения (знаки количества в традиционной логике) типа «для всех», «ни для одного» и «для некоторых» не получают однозначной интерпретации и могут приводить к двусмысленностям.

Чтобы обсуждать вещи универсума, необходимо для каждой из них заручиться именем собственным (обозначает эту и только эту вещь).

Имя собственное в логике предикатов — термин, обозначающий отдельную вещь универсума.

Логика предикатов, как и традиционная логика, связана с допущением невозможности существования пустых имен, т. е. таких терминов, которым в рассматриваемом универсуме ничего не соответствует (которые не обозначают ни одной его вещи).

Допущение непустоты универсума — каждому имени собственному должна соответствовать некоторая вещь универсума.

В логике предикатов не важно, каким именем обозначается та или иная вещь, существенно, какая вещь обозначается. Поэтому если два и более различных имени обозначают одну и ту же вещь, то независимо от различия своих интенсионалов (смыслов) они считаются экстенсионально взаимозаменяемыми. Например, «автор “Евгения Онегина”» и «А. С. Пушкин» — экстенсионально взаимозаменяемые имена, так как обозначают одного и того же человека. В противном случае значение истинности высказывания будет зависеть от малейшего изменения смысла контекста, в котором оно употребляется.

Допущение экстенсиональности — если два различных имени обозначают одну и ту же вещь, они считаются взаимозаменяемыми и обладают одним и тем же значением истинности.

Как и в логике высказываний, в логике предикатов сохраняется допущение бивалентности.

Допущение бивалентности — каждое простое высказывание ЛП

либо истинно, либо ложно.

Из-за необходимости учитывать внутреннюю структуру высказываний атомарные формулы Л П значительно отличаются по своей структуре от атомарных формул ЛВ. Напомним, что в ЛВ таковыми считаются знаки (прописные буквы латинского алфавита), обозначающие простое высказывание.

Допустим, задан некоторый универсум U. Относительно любой его вещи ее имя собственное может быть известно или неизвестно. Если оно известно, то данная вещь обозначается одной из строчных начальных букв латинского алфавита а, Ь, с... и называется предметной константой. Значение каждой предметной константы, т. е. обозначаемая ею вещь, фиксировано и не может быть произвольно изменено.

Если же имя собственное вещи неизвестно, то она обозначается из строчных конечных букв латинского алфавита х, у, z... называется предметной переменной. Предметные переменные не имеют фиксированного значения. Их главная функция состоит в том, чтобы обозначать все вхождения одного и того же имени. Иными словами, на место каждой предметной переменной одно и то же имя должно подставляться столько раз, сколько отмечается ее вхождений.

Различие между предметными константами и переменными поясняет следующий пример. Допустим, необходимо формализовать утверждение, что некоторая вещь из универсума U обладает свойством Р. Это возможно осуществить двумя способами: либо как Ра, если а — известное имя собственное вещи, либо как Рх, если имя собственное вещи неизвестно. Выражение Ра читается: «Данная вещь а из универсума U обладает свойством Р». Выражение Рх читается так: «Произвольная вещь*из универсума Uобладает свойством Р». Фундаментальное различие между обоими случаями состоит в том, что выражения типа Ра, РЬ... можно оценивать как истинные или ложные, а выражения Рх, Ру... так оценивать нельзя.

Пусть U= «пищевые продукты», Р= «сладкий», а =* «сахар», b = «соль». Тогда выражение Ра = «Сахар сладкий» истинно, а выражение РЬ =* «Соль сладкая» ложно. Сказать же, что Рх - «Произвольный пищевой продукт сладкий» истинно или ложно, бессмысленно, потому что неизвестно, о каком же именно пищевом продукте идет речь. Знак * обозначает любую съедобную вещь или, как говорят, «пробегает» по всем вещам рассматриваемого универсума. Значит, чтобы выражение ЛП, содержащее вхождения предметных переменных, можно было интерпретировать как истинное или ложное высказывание, их необходимо заменить соответствующими им предметными константами.

Допустим, необходимо формализовать утверждение, что некоторая вещь находится в определенном отношении к другой вещи. Здесь также различаются указанные выше два случая. Выражение вида Rxy означает «Произвольные вещи лги у из универсума [/находятся в отношении R друг к другу». Сказать об отношении Rxy, истинно оно или ложно, нельзя до тех пор, пока не станет известно, какие именно вещи обозначают переменные л: и у. Пусть U- «числа», а - 3, b - 4, R - «больше». Тогда неопределенное с точки зрения истинности выражение Rxy превращается в ложное высказывание Rab в «3 больше 4».

Традиционно предикатом называется мысль, обозначающая либо свойство, которым обладает или не обладает данная вещь, либо отношение, в котором эта вещь находится или не находится к другим вещам. В Л П под предикатами понимаются логические функции, отображающие имена собственные как свои аргументы в множество значений истинности. Если в высказывании «Сахар сладкий» заменить константу «сахар» предметной переменной, то результатом замены станет функция «л: — сладкий». Подстановка в данную функцию вместо л: различных имен собственных будет порождать истинные или ложные высказывания в качестве ее значений. Если исключить случай, когда предикат имеет нулевое множество аргументов, предикатом в собственном смысле слова можно назвать любое высказывание, содержащее по крайней мере одно вхождение предметной переменной. Пусть, как и прежде, Т и Fобозначают значения истинности.

Предикат — логическая функция, отображающая собственные имена вещей (предметные константы) в множество логических значений {Г, F}.

Выражения вида Р]х принято называть одноместными (одноаргументными) предикатами. Их отличительная особенность состоит в том, что они обозначают свойства вещей. Выражения вида Р2ху называют двухместными (двухаргументными) предикатами. Их особенность заключается в том, что они обозначают бинарные отношения. В общем, выражения вида Рп принято называть п-местными предикатами, обозначающими л-местные отношения, п > 0. В случае Р° предикатная буква — знак простого высказывания Л В, которое по допущению бивалентности либо истинно, либо ложно. Так как атомарные формулы ЛВ сводимы к виду Р°, то они все представляют собой атомарные формулы ЛП.

Верхними индексами для обозначения местности предиката можно и не пользоваться, так как число мест предиката легко определяется по числу предметных переменных, которыми он управляет. Например, Р8 означает, что после предикатной буквы Р должно стоять три предметных переменных — Pxyz. В дальнейшем используется именно данный вариант символизации.

Если требуется формализовать операцию, отображающую множество предметных констант в это же множество по определенному закону, тогда используют соответствующую ей предметную (т. е. нелогическую) п-местную функцию. Известные арифметические действия — сложение, вычитание, умножение и деление — выступают частными случаями таких функций.

Двухместная функция сложения /(а, Ь), определенная на множестве натуральных чисел, устанавливает соответствие между парой определенных натуральных чисел а и Ь и новым числом с из этого же множества как результатом их суммы: а + Ь - с. Например,/(1,2) = 3,/(/(1,2), /(1, 2)) = 3 + 3 = 6. Другие примеры и-иредметных функций: g(b) = = мать b, g(g(b)) = мать матери b = бабушка b, g(g(g(b))) = мать бабушки b = прабабушка Ь. Функция fn при п = 0 обозначает предметную константу.

Предметные константы и предметные переменные принято объединять общим именем — простой терм (от англ. term). Понятие терма обобщает понятие субъекта в традиционной логике. К числу сложных термов относятся «-местные функциональные знаки, п > 0, сопровождаемые «-предметными константами или переменными в качестве простых термов.

Объединение термов с предикатной буквой порождает атомарную формулу ЛП. Основное правило в этом процессе следующее: п-мест- ной предикатной букве должно соответствовать п термов. Таким образом, выражение Л3 не будет атомарной формулой ЛП, так как предикатный символ не сопровождается тремя термами, а выражение вида РаДгтаковой признать можно. Если ?,... tn произвольные термы, Р" — произвольный «-местный предикат, то атомарная формула ЛП имеет следующий канонический вид: Ра1п п>0. Только атомарным формулам ЛП и построенным из них сложным формулам можно приписывать то или иное значение истинности.

Некоторые формулы ЛП с вхождениями предметных переменных могут быть квантифицированы. Кванторы в Л П играют такую же роль, как и знаки количества — «все», «ни один», «некоторые» — в традиционной логике. Они определяют количественные границы свойств и отношений, обозначаемых предикатами.

Пусть универсум состоит из трех вещей, каждая из которых имеет свое собственное имя, U = {а, Ь, с). Если необходимо сказать, что все элементы данного универсума обладают свойством Р, это можно сделать двумя способами. Во-первых, построив конъюнкцию — (Ра & РЬ & Рс), которая истинна, если и только если истинны все ее конъюнкты. Во-вторых, использовав специальное сокращение, называемое квантором общности и ставящееся перед той формулой (Рх — в данном случае), количественную характеристику которой оно определяет: (х)Рх. Формула Рх, перед которой поставлен квантор общности (х)Рх, читается так: «Каждый х обладает свойством Р», «Для всех х имеет место свойство Р». Формула -i(х)Рх читается следующим образом: «Неверно, что каждый х обладает свойством Р». Формула (х)-лРх означает: «Ни один х не обладает свойством Р».

Если необходимо сказать, что некоторые вещи рассматриваемого универсума обладают свойством Р, то это можно сделать также двумя способами. Во-первых, построив дизъюнкцию (Ра v Pbv Рс), которая истинна, если и только если истинен по крайней мере один ее дизъюнкт. Во-вторых, использовав специальное сокращение, называемое квантором существования и ставящееся перед тем выражением, количественную характеристику которого оно определяет: (Ех)Рх. Формула Рх, перед которой поставлен квантор существования (Ех)Рх, читается «Существует такой х, который обладает свойством Р», «По крайней мере для одногох имеет место Р». Формула -i(Ех)Рх читается «Неверно, что существует такой .г, который обладает свойством Р». Формула (Ex)-iPxозначает «Некоторые х не обладают свойством Р».

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 
Популярные страницы