Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Логика arrow ЛОГИКА
Посмотреть оригинал

Модальная логика

Будучи интерпретирована с помощью системы «возможных миров», модальная логика предстала не как искусственно добавленный и ненужный довесок к классической логике, а как естественное и органическое ее расширение.

Я. А. Слинин «Современная модальная логика»

Основные определения и допущения модальной логики высказываний и предикатов

Современная модальная логика (модальная логика высказываний и предикатов) возникла в начале XX в. в результате попыток создать исчисление с более строгим, чем в обычной логике, отношением логического следования[1]. Основатель современной модальной логики, Кларенс Ирвинг Льюис, полагал, что общепринятое отношение логического следования слишком либерально, поскольку допускает такие, по его мнению, парадоксальные свойства, как «Ложное суждение влечет любое суждение» и «Истинное суждение следует из любого суждения». Чтобы их исключить, он определил отношение логического следования как необходимо истинную (логически строгую) импликацию. Замысел состоял в том, чтобы провести различие между необходимыми и случайными истинами.

Случайно истинное высказывание, хотя оно и истинно в данное время и при данных обстоятельствах, может быть ложно в другое время и при других обстоятельствах. Необходимая истина истинна всегда и при любых обстоятельствах. И хотя подобное различие не внесло особой ясности в решение проблемы устранения парадоксов логического следования, объективно оно сделало понятия необходимости и возможности предметом интенсивного логического анализа. В результате были построены пять канонических исчислений с модальными операторами

«необходимо» и «возможно» (системы SI, S2, S3, S4, S5). Появление этих систем считается официальной датой рождения модальной логики высказываний и предикатов.

Модальная логика была создана для выявления влияния модальных операторов на дедуктивный вывод заключений из посылок. Такое исследование оказалось необходимым потому, что модальности невозможно выразить в терминах функций истинности. Например, из истинности высказывания «Сегодня, возможно, пасмурно» не следует с необходимостью истинность утверждения «Сегодня не может не быть пасмурно», которое может быть как истинным, так и ложным. Аналогично, из истинности высказывания «Я могу выпить чашку чая» не следует с необходимостью истинность суждения «Я обязан выпить чашку чая». Учитывая сказанное, справедливо следующее определение.

Модальная логика высказываний и предикатов — это теория исчислений, изучающая общезначимость дедуктивных умозаключений, посылки и заключения которых содержат модальные операторы.

По типу модальных операторов модальную логику обычно делят на:

  • алетическую (исследует модальности «необходимо» и «возможно»),
  • деонтическую (исследует модальности «обязательно» и «позволительно»),
  • эпистемическую (исследует модальности «знаю» и «верю»),
  • временную (исследует модальности «всегда» и «иногда») и др.

К настоящему времени построены и подробно изучены многочисленные исчисления с указанными и иными модальностями[2]. Все они представляют расширение классической логики высказываний или предикатов.

В этой главе мы ограничимся расширениями Л В модальными операторами, выражающими алетические модальности, — «необходимо» и «возможно». Пусть знак ? символизирует необходимость, знак 0 — возможность. Объединение произвольной формулы фЛ В или Л П с операторами ? и 0 в зависимости от вхождения знака логического отрицания читается следующим образом:

  • ?0означает «0 необходимо истинно»;
  • 00— «0, возможно, истинно»;
  • -чП0 — «неверно, что ф необходимо истинно»;
  • -nO0— «невозможно, чтобы 0было истинно»;

СЗ-10 — «0 необходимо ложно»;

О—.0 — «0, возможно, ложно».

Высказывание 0 или его отрицание образует область действия того модального оператора, который стоит слева от него.

Необходимость и возможность — взаимозависимые модальности. Каждая из них определяется через отрицание другой с одновременным отрицанием области ее действия. Нижеприведенные эквивалентности представляют правила отрицания операторов необходимости и возможности (при построении доказательств они будут обозначаться буквой М).

Примером первой эквивалентности служит высказывание «Наличие жизни на Марсе не является необходимым тогда и только тбгда, когда возможно, что ее там нет». Примером второй — высказывание «Отсутствие жизни на Марсе не является необходимым тогда и только тогда, когда возможно, что она там есть». Примером третьей — «На Марсе жизнь невозможна тогда и только тогда, когда необходимо, что ее там нет». Примером четвертой эквивалентности — высказывание «На Марсе невозможно отсутствие эйизни тогда и только тогда, когда необходимо, что она там существует».

Определение формулы модальной логики строится как расширение соответствующих определений формул логики высказываний и логики высказываний.

Примерно до середины XX в. модальная логика рассматривалась в основном как узкоспециальное направление. Лишь с интерпретацией основных категорий и результатов в терминах семантики возможных миров в ней стали видеть важное расширение классической логики высказываний и предикатов, обладающее глубоким теоретико-познавательным смыслом и актуальным значением.

Понятие возможного мира, восходящее к Г. В. Лейбницу[3], — из числа фундаментальных в современной модальной логике. Наш мир, называемый актуальным, действительным, — всего лишь один из бесконечного множества возможных миров.

Возможный мир — непротиворечивое и полное описание альтернативного развития событий по сравнению с действительным миром, в котором мы живем в настоящее время.

Некоторые из возможных миров могут быть чрезвычайно похожи на действительный, другие радикально отличаются от него своими свойствами. Главное требование, предъявляемое к возможным мирам, — их непротиворечивость. Такое бывает, если все события, которые они описывают, могут осуществиться одновременно.

Семантика возможных миров вскрывает принципиальное различие между операторами возможности и необходимости. Назначение первого из двух состоит в том, чтобы вводить в универсум рассмотрения новый возможный мир. Наоборот, назначение оператора «необходимо» — наполнять введенный возможный мир соответствующими объектами (формулами).

Допущение множества возможных миров расширяет классическое определение истины и определяет специфику модального рассуждения. Истина и ложь не выступают теперь абсолютными характеристиками. Истинность (ложность) высказывания обусловлены теперь указанием на определенный возможный мир, в котором оно обладает данным свойством. В другом возможном мире высказывание обладает Противоположным истинностным свойством.

Произвольное высказывание, возможно, истинно, если и только если оно истинно по крайней мере в одном из возможных миров; актуально истинно, если и только если оно истинно в действительном мире; необходимо истинно, если и только если оно истинно во всех возможных мирах, включая и действительный. Сказанное составляет основное допущение модальной логики.

Основное допущение (алетической) модальной логики.

Формула Оф истинна, если она истинна в каждом возможном мире.

Формула ф истинна, если она истинна в действительном мире.

Формула истинна, если она истинна по крайней мере в одном

из возможных миров.

Пусть знаки wl, wl, w3... обозначают различные возможные миры, включая и действительный. Знак w без индекса символизирует произвольный возможный мир.

В качестве базисных примем следующие правила удаления операторов возможности и необходимости:

Правило OR требует, чтобы при снятии оператора 0 формула 0была истинна в новом возможном мире, не совпадающем ни с одним из ранее введенных. Число вводимых новых возможных миров должно соответствовать числу удаляемых операторов возможности.

Правило OR требует, чтобы при снятии оператора ? формула ф оставалась истинной в любом из ранее введенных возможных миров.

Формула 0, истинная (ложная) в возможном мире w 1, может оказаться ложной (истинной) в мире wl. Отсюда следует, что отношение противоречия и замкнутой ветви дерева формулы также обусловлены понятием возможного мира.

В МЛ формула (0 & -.0) выражает противоречие, если и только если

как 0, так и ->ф истинны в одном и том же возможном мире ах

Это означает, что если формула ф истинна, скажем, в мире w 1, а формула -.0 истинна в мире wl, то конъюнкция (0 & -лф) не представляет противоречия в МЛ. Иными словами, для образования противоречия конъюнкты должны быть истинны в одном и том же возможном мире.

Сказанное позволяет ввести следующее правило замыкания:

Как и в классической логике высказываний и предикатов, доказательства в МЛ могут быть прямыми и косвенными. Из-за большей эффективности предпочтение отдано косвенным. Ниже везде предполагается известным знание правил построения деревьев формул Л В.

Определение косвенного вывода в МЛ принципиально ничем не отличается от подобного определения в ЛВ.

Если каждая ветвь дерева формулы г ф2... фп & -i<р) после удаления операторов возможности и необходимости замкнута, тогда формула косвенно выводима из последовательности формул ф}, ф2... фп.

Пусть а и Д как и прежде, обозначают посылки и заключение доказательства.

Доказательством заключения р в исчислении МЛ называется вывод р из множества посылок а.

  • [1] Lewis С. I. A Survey of Symbolic Logic. — Berkeley, 1918.
  • [2] Сличил Я. А. Современная модальная логика. Развитие теории алетическихмодальностей (1920-1960). — Л., 1976. Костюк В. Н. Элементы модальной логики. — Киев, 1978.
  • [3] «А так как в идеях Бога есть бесконечное множество возможных универсумов, из которых осуществиться может лишь один, то необходимо достаточноеоснование для выбора, которое определяет Бога скорее к одному, чем к другому.» - Лейбниц Г. В. Монадология. Соч.: В 4 т. Т. 1. — М., 1982. С. 422.
 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы