Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Логика arrow ЛОГИКА
Посмотреть оригинал

Базисная модальная логика

Интерпретация модальных операторов в терминах возможных миров основана на определенных условиях достижимости одного мира из другого. Всего таких условий три:

  • рефлексивность (Refl),
  • симметричность (Sym),
  • транзитивность (Тг).

Пусть А обозначает бинарное отношение достижимости одного возможного мира из другого.

  • 1. Отношение достижимости рефлексивно, если и только если каждый возможный мир достижим из самого себя, т. е. истинно wAw.
  • 2. Отношение достижимости симметрично, если и только если для всех нар различных индексов i,j возможный мир ^.достижим из возможного мира w.t и наоборот: возможный мир недостижим из возможного мира w., т. е. истинно как WjAwj, так и WjAwt.
  • 3. Отношение достижимости транзитивно, если и только если для всех трех различных индексов i,j и k верно следующее: достижимость возможного мира w. из возможного мира wi и достижимость возможного мира н^из возможного мира w- означают следование достижимости возможного мира wk из возможного мира т. е. истинно, что из wfiWj и WjAwk следует wAwk.

Понятие достижимости позволяет точнее определить понятия истинности и ложности в терминах возможных миров.

Формула ? ф истинна в возможном мире w, если и только если формула фистинна в каждом возможном мире, достижимом иза;1. Формула Пфложна в возможном мире w 1, если формула Сложна по крайней мере в одном из возможных миров, достижимых из w^.

Формула 0 истинна, если и только если она истинна в действительном мире. Формула Сложна, если она ложна в действительном мире.

Формула 00 истинна в возможном мире и>1, если и только если формула 0 истинна по крайней мере в одном из возможных миров, достижимом из w 1. Формула 00 ложна в возможном мире к>1, если формула 0 ложна по крайней мере в одном из возможных миров, достижимом из w.

В зависимости от того, какими свойствами из указанных обладает отношение достижимости, возможны различные варианты модальной логики высказываний. Наиболее универсальна та версия, в которой выполняются все перечисленные выше свойства достижимости. Назовем эту версию базисной модальной логикой (БМЛ).

Модальная (алетическая) логика высказываний называется базисной, если и только если выполняются все три условия достижимости возможных миров — рефлексивность, симметричность и транзитивность.

В техническом смысле БМЛ соответствует системе S5 К. И. Льюиса. Она самая сильная, так как в ней выполняются все три свойства достижимости, и одновременно наиболее либеральная, если учитывать отсутствие ограничений при «передвижении» по возможным мирам: в системе S5 каждый возможный мир достижим из каждого возможного мира. Все остальные модальные системы могут быть образованы из S5 посредством наложения определенных ограничений на свойства достижимости возможных миров.

Докажем несколько принципиальных теорем БМЛ, отличающих ее от других вариантов модальной логики высказываний и предикатов. (Доп. означает «допущение», отр. закл. — «отрицание заключения», ЛВ — «правила построения деревьев логики высказываний».) Теорема 1. ? Р ь Р Доказател ьство:

  • 1. JP(w) — доп.
  • 2. -P(w 1) — отр. закл.
  • 3. wlAwi — Refl.
  • 4. />(«Л)-из1,3, DU ш

Данная теорема утверждает: все, что необходимо, действительно существует. При ее доказательстве используется свойство рефлексивности отношения достижимости. Благодаря этому свойству в возможном мире 0)1, где истинна формула QР, после снятия оператора необходимости ? оказывается истинной и формула Р. Обратная теорема неверна: не все, что действительно истинно, оказывается необходимо истинным.

Теорема 2. QP i- DOР

Доказательство:

  • 1. DP(o)l) — доп.
  • 2. -OQP(o)l) — отр. закл.
  • 3.0- ОР(о)1) — из 2, М.
  • 4. о)1/4се)2 из 3, OR.
  • 5. -OP (0)2) — из 3, OR.
  • 6. 0-iP(w2) — из 5, М.
  • 7. Р(о)2) — из 1,4, ПА
  • 8. w2Aw3 — из б, OR.
  • 9. -iP(o>3) — из 6, OR.
  • 10. в)1/4о)3 — из 4,8, 7г.
  • 11. Р(даЗ) — из 1, 10, ОА ?

Данная теорема утверждает: все необходимое необходимо с необходимостью. При ее доказательстве используется свойство транзитивности отношения достижимости. Первое применение правила OR позволяет достигнуть возможный мир m2 из возможного мира w 1 (шаг 4). Второе применение правила OR гарантирует достижение возможного мира о>3 из возможного мира m2 (шаг 8). Объединяя оба шага, получаем, что возможный мир юЗ достижим из возможного мира ю1 (шаг 10). Обратная теорема также верна. Если нечто необходимо с необходимостью, верно, что оно просто необходимо.

Теорема 3. ОР ь ПОР

Доказательство:

  • 1.0Р(о)1) — доп.
  • 2. -OOP (о)1) — отр. закл.
  • 3.0- iOP(o)l) — из 2, М.
  • 4. wlAw2 — из 3, OR.
  • 5. -iOP (о)2) — из 3, OR.
  • 6. wlAw3 — из 1, OR.
  • 7. Р (о)2) -из 1,0 R.
  • 8. [H-iP(o)2) — из 5, М.
  • 9. w2Awl — из 4, Sym.
  • 10. w2Aw3 — из 6,9, Tr.
  • 11. -iP(«>3) — из 8,11, ? R.

ш

Данная теорема гласит: то, что возможно, необходимо возможно. При ее доказательстве используются свойства симметричности и транзитивности отношения достижимости. Согласно первому применению правила ОR возможный мир w2 достижим из возможного мира w (шаг 4). Согласно второму применению правила 0R возможный мир w3 достижим из возможного мира w (шаг 6). Однако чтобы довести доказательство до конца, необходимо попасть из мира w2 в мир w3. Для этого, принимая во внимание свойство симметричности, следует сначала вернуться из мира w2 в w (шаг 9), затем, пользуясь возможностью достичь мир w из мира w3, попасть из w2 в w3, реализуя тем самым свойство транзитивности отношения достижимости. Обратная теорема также верна.

Все три теоремы позволяют определить базисную модальную логику высказываний более формально:

Из приведенных теорем следует, что БМЛ обладает следующими особенностями редукции модальных операторов. Формула, предваряемая конечной последовательностью модальных операторов ? и 0, эквивалентна формуле с модальным оператором, стоящим в этой последовательности последним:

  • 00... ?/> = ?/>
  • 00. .. 0Р s 0Р, где 0 есть либо ?, либо 0.

Исходя из сказанного, в БМЛ доказуемы следующие принципиальные редукции:

Теорема 4. к ППР = OP

Теорема 5. к ПОР = 0Р

Теорема 6. к 0ПР= ? Р

Теорема 7.»- 00Р = 0Р

Рассмотрим еще несколько теорем БМЛ. Для сокращения длины доказательств шаги, фиксирующие достижимость одного мира из другого, опускаются.

Теорема 8. С](Рэ Q) к (? Рэ ?())

Доказательство:

  • 1. Ш(Рэ Q) (wl) — доп.
  • 2. -.(? Р=> (HQ) (о>1) — отр. закл.
  • 3. DP (wl) — из 2, ЛВ.
  • 4. -OQ (о>1) — из 2, ЛВ.
  • 5. 0-iQ (о;1) — из 4, М.
  • 6. -1Q (w2) — из 5, OR.
  • 7. (PdQ) (w2) — из 1, ?/?.
  • 8. Р (г«;2) — из 3, DP.
  • 9. -уР (w2) Q(w2) —из 7, Л В
  • ? ?

Эта теорема позволяет распределять оператор необходимости по членам импликации (антецеденту и консеквенту), если последняя сама необходимо истинна. Скажем, необходимо истинно: если число делится на два, то оно четное. Тогда истинно: если данное число с необходимостью делится на два, оно необходимо четное. Обратная теорема, однако, не верна.

Теорема 9. П(Рэ Q), -iOQ н -iP

Доказательство:

  • 1. ?(Рэ<2)(а>1)-доп.
  • 2. —«0<2 (w) — доп.
  • 3. -1-1Р (ю1) — отр. закл.
  • 4. Р (а>1) — из 3, ЛВ.
  • 5. D-iQ (а?1) — из 2, М.
  • 6. -1Q (о>1) — изб, DR.
  • 7. (PdQ) (о>1) — из 1, DR.
  • 8. -tP(wi) Q(w) — U3 7, Л В.
  • ? ?

Данная теорема представляет вариант modus tollens алетического умозаключения. Например, если необходимо истинно, что высказывание «сегодня вторник» следует из высказывания «вчера был понедельник», но вторник сегодня невозможен, тогда неверно, что вчера был понедельник.

Теорема 10. D(P z> Q), 0Р н 0Q

Доказательство:

  • 1. D(PdQ) (wl) — доп.
  • 2. OP (эд1) — доп.
  • 3. -iOQ (wl) — отр. закл.
  • 4. P (a> — из 2, OP.
  • 5. D-iQ (а>1) — из 3, М.
  • 6. —»С2 (а>2) из 5, DP.
  • 7. (PdQ) (а>2)-из1,С)Р.
  • 8. -,Р (w2) Q (w2) - из 7, Л В.
  • ? ?

Данная теорема представляет вариант modus ponens алетического умозаключения. Например, если необходимо истинно, что высказывание «сегодня вторник» следует из высказывания «вчера был понедельник», и возможно, что сегодня вторник, тогда также возможно, что вчера был понедельник.

Теорема 11. D(P & Q) н ШР & DQ

Доказательство:

  • 1. D(P& Q) (wl) — доп.
  • 2. -i(DР & DQ) (w) — отр. закл.
  • 3. -ОР(о>1) -DQ (и>1)-из2,ЛВ.
  • 4. O-iP(^l) О—»Q (ад1) —изЗ,М.
  • 5. —iP(wl) -1Q (а>1) — из4,0Р.
  • 6. Р(а>1) Q (а>1) — из 1, DP, ЛВ.
  • ? ?

Эта теорема свидетельствует: если конъюнкция необходимо истинна, необходимо истинен и каждый ее конъюнкт. Обратная теорема также верна. Например, если необходимо истинно, что данная вещь круглая и синяя, необходимо, что она круглая, и необходимо, что она синяя. Обратная теорема также верна.

Теорема 12. О (Р & Q) ь- OP & 0Q

Доказательство:

  • 1. О (P&Q) (wl) — доп.
  • 2. -I (ОР & 00 (ш1) — отр. закл.
  • 3. -iOP(wl) -.0Q (wl) — из 2, ЛВ.
  • 4. D-iP(^l) D-i Q (а>1) — изЗ, М.
  • 5. P(w2) Q (w2) — из 1,0Р, Л В.
  • 6. —iP(w2) -iQ (w2) из 4, DP.
  • ? ?

Теорема утверждает, что если конъюнкция возможна, то возможным будет и каждый ее конъюнкт. Например, если возможно, что данная вещь круглая и синяя, возможно, что она круглая, и возможно, что она синяя. Но обратная теорема неверна. Из того факта, что некоторая вещь круглая, а некоторая, возможно другая, вещь синяя, не следует с необходимостью, что возможна вещь круглая и синяя одновременно.

Теорема 13. QP v DQ h Q(P v Q)

Доказательство:

  • 1. QPvQQ (wl) — don.
  • 2. -»? (Pv Q) (wl) — отр. закл.
  • 3. 0 —i(P v Q) (wl) из 2, M.
  • 4. 0 (-iP& -»Q) (wl) — из 3, ЛВ.
  • 5. ->P (w2) — из 4,0/?.
  • 6. ->Q (w2) — из 4, 0/?.
  • 7. QP(wl) — DQ (wl) — из 1.ЛВ.
  • 8. P (w2) — Q (w2) — из 5, 6, ? R.
  • ? ?

Теорема доказывает, что если каждый дизъюнкт некоторой дизъюнкции необходимо истинен в отдельности, тогда необходимо истинна и вся дизъюнкция в целом. Например, если данная вещь необходимо круглая или необходимо синяя, то необходимо истинно, что она круглая или синяя. Но обратная теорема неверна. Необходимо истинно, что монета выпадет гербом или цифрой. Но отсюда не следует, что она с необходимостью выпадет гербом или необходимо выпадет цифрой.

Теорема 14. 0 (Р v Q) h OP v 0Q

Доказател ьство:

  • 1. 0 (Pv0 (wl) - доп.
  • 2. —>(0 P v 0Q) (wl) — отр. закл.
  • 3. -i0P&-i0Q (wl) —из 2, JIB.
  • 4. O-tP&O-nQ (wl) - из 3, M.
  • 5. D-1P (wl) —из 4, JIB.
  • 6. D-»Q (wl) — из 4, JIB.
  • 7. (P v Q) (w2) — из 1, OP.
  • 8. P (w2) Q (w2) — из 7, JIB.
  • 9. -iP (w2) ->Q (w2) — из 5,6, QP.
  • ? ?

To, что не выполняется в случае с необходимостью, оказывается верным, когда речь идет о возможности. Теорема 14 гласит: если возможна некоторая дизъюнкция, возможен и каждый ее дизъюнкт в отдельности. Например, если возможно, что данная вещь круглая или синяя, возможно, что она круглая, или возможно, что она синяя. Обратная теорема также верна. Если возможен каждый дизъюнкт в отдельности, то возможна и вся дизъюнкция в целом.

Теорема 15. —iOP i- D(Pd Q)

Доказательство:

  • 1. -iOP (w) — доп.
  • 2. -0(Рэ(2) (а>1) — отр. закл.
  • 3. Q-iР (ге^1) — из 1, М.
  • 4.0-i(Pz> Q) (ге1) — из 2, М.
  • 5.0(Р & -,<2) (а>1) — из 4, Л В.
  • 6. (Р & -iQ) (ш2) — из 5,0R.
  • 7. Р (а>2) — из 3, Л В.
  • 8. -1Q (w2) — из 3, ЛВ.
  • 9. -IР (w2) — из 3, ?/?.
  • ?

Эта теорема символизирует один из парадоксов исчисления строгой импликации К. И. Льюиса: из логически невозможной формулы следует все, что угодно, включая необходимо истинную формулу. Это говорит о том, что цель, которую К. И. Льюис поставил, не была достигнута, — парадоксы логического следования не исчезли. Но зато была создана модальная логика высказываний и предикатов (последняя здесь не рассматривалась).

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 
Популярные страницы