Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Техника arrow СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ : ОСНОВЫ СТРАТЕГИИ
Посмотреть оригинал

Система гидромеханических уравнений многокомпонентной многофазной среды с учетом химических, диффузионных и тепловых явлений

В настоящее время отсутствуют достаточно полные математические описания многофазных многокомпонентных систем, в которых одновременно происходят химические, диффузионные и тепловые явления. Уравнения механики однокомпонентпой двухфазной дисперсной смеси с фазовым превращением получены недавно в работе [34]. Здесь эти результаты обобщаются на случай многокомпонентной неидеальной двухфазной дисперсной смеси, гд$ происходят химические реакции совместно с процессами тепло- и массопереноса.

Основные допущения. Рассмотрим m-фазную п-компонентную сплошную среду, в объеме каждой i-й фазы которой протекают N линейно независимых химических реакций. Движение многофазной многокомпонентной смеси будем изучать при следующем предположении: фазы представляют собой гомогенные смеси (смеси газов, растворы), а расстояния, на которых параметры течения меняются существенно (вне поверхностей разрыва), много больше характерных размеров неоднородностей или включений (капель, пузырей, твердых частиц). Это позволяет подойти к описанию движения многокомпонентной многофазной смеси на основе представлений взаимопроникающих континуумов [33 К

Каждая фаза представляет собой гомогенную смесь компонентов, поэтому в пределах данной фазы справедлива модель п-ско- ростпого континуума (по числу компонентов смеси). Совокупность т таких фаз образует новый /п-скоростной континуум (по числу фаз в смеси).

Как отмечается в работе [34], при рассмотрении однокомпонентных многофазных смесей методы описания движения гомогенных и гетерогенных смесей расходятся в своих подходах. В случае же многокомпонентной и многофазной смеси эти методы дополняют друг друга. В самом деле, пусть pj* — усредненная по объему, занимаемому i-й фазой, плотность к-го компонента в t-й фазе. Тогда сумму

можно рассматривать как истинную плотность вещества t-й фазы. Среднюю плотность i-й фазы мы получим, если учтем долю объема а(, занимаемую t-й фазой: p^—a^pj (? = 1, 2, . . ., т), причем ai+a2-b. . • 4-ат=1, где а{ ^ 0. Вместо истинных скоростей фаз (как это имеет место в случае однокомпонентной многофазной системы) мы будем иметь среднемассовые скорости для каждой фазы

где vrt — скорость к-то компонента в t-й фазе.

Таким образом, в каждой точке объема, занятого гетерофазной многокомпонентной смесью, можно ввести средние плотности Pi, р2, • • •, рт, характеризующие массу фазы в единице объема смеси фаз, среднемассовые скорости фаз vlt v2, . . vm, а также записать уравнения сохранения массы, импульса и энергии для каждой фазы, куда войдут члены, характеризующие взаимодействие (массовое, силовое и энергетическое) между ними.

Особенностью механики гетерофазных сред является то, что составляющие в смеси присутствуют в виде макроскопических (по отношению к молекулярным размерам) включений и среды, окружающей эти включения, так что многие механические и термодинамические свойства i-й фазы (i—1,2, . . ., т) не зависят непосредственно от присутствия других фаз. Однако деформация каждой фазы, обусловливающая ее состояние и реакцию, определяется не только смещением внешних границ выделенного объема гетерогенной смеси (полем скоростей {), но и смещением межфазных поверхностей внутри выделенного объема.

В общем случае для каждой фазы необходимо рассматривать как внешний тензор скоростей деформации

так и целый набор —1 для каждой фазы) некоторых тензоров

(/=!» 2, ...» m, j=?i), учитывающих смещения вещества г-й фазы за счет взаимодействия с /-й фазой, так что истинная скорость деформации фазы определяется тензором

Определение тензоров b{J каждый раз связано с привлечением условий совместного движения и деформирования фаз, а также условий, учитывающих структуру включений (форму, размер включений, их расположение и т. д.). В тех случаях, когда эффекты прочности не имеют значения (газовзвесь, жидкость с пузырями или частицами твердого тела в условиях очень высоких давлений), условия совместного движения являются существенно более простыми, чем в общем случае. Они по существу сводятся к заданию уравнений, определяющих объемные содержания фаз аг Часто встречающимся такого рода уравнением является уравнение равенства давлений фаз.

Примем гипотезу локального равновесия в пределах каждой из фаз, что позволяет ввести для каждой из них свою температуру Т{1 внутреннюю энергию и,, энтропию si} энтальпию i{J давление Pi и другие термодинамические функции. Многокомпопентность фаз обусловливает зависимость термодинамических функций каждой из фаз не только от ее температуры, давления, плотности, но и от состава фазы са, с<2, . . cin {cik plfc/p<).

Будем рассматривать смесь двух сжимаемых фаз, в каждой из которых отсутствуют эффекты прочности. Первую фазу будем считать несущей, вторая присутствует в виде дискретных, одинанового размера d включений (капель, пузырей, частиц), механическими непосредственными взаимодействиями между которыми можно пренебречь. Тогда а2»СуЩ^, где с/ — коэффициент формы частиц; т1 число частиц в единице объема смеси, подчиняющееся при отсутствии дробления, коагуляции и образования новых частиц уравнению [34I

Интегральные уравнения. Рассмотрим фиксированный в некоторой инерциальной системе объем У, ограниченный поверхностью S. Уравнения сохранения массы к-то компонента для первой и второй фаз внутри объема V имеют вид

где Pi*= aiPi*» p2*=a2p?*, (a1“ba2=l) — усредненные по объему V плотности к-го компонента соответственно в фазах 1 и 2; р?*. & — плотности к-то компонента в фазах 1 и 2, усредненные по объему, занимаемому соответственно фазами 1 и 2; vIJfc, — скорости к-го компонента в фазах 1 и 2; = (v1Jt, n), v2k = (v2fc, п);

п — вектор нормали к поверхности 5; Jk{ 12), Jkl2X) — «наблюдаемые» макроскопические скорости перехода вещества к-то компонента через границу раздела фаз в направлении 1 -> 2 и 2 -*• 1 соответственно (за счет диффузионных явлений или фазовых превращений); заметим, что здесь результирующий поток переноса компонента /Л=/*(13,—условно разбит на два противоположных потока Jkn2) и J&(2i)t так как, вообще говоря, силовое и энергетическое воздействия этих потоков на каждую фазу различно и их нельзя учесть сменой знака в скорости результирующего потока Jk /(1г), /(2г) — скорости г-й реакции в объеме фаз 1 и 2 соответственно; v*ar) = P*ar)^*» v*(2d = P*(2r)^*> P*(1d» Pjt(2r) — стехиометрические коэффициенты при к-и компоненте, участвующем в r-й реакции в фазах 1 и 2 соответственно; Мк — молекулярная масса к-то компонента.

Суммируя интегральные уравнения (1.2) по всем компонентам, мы получим уравнения сохранения массы для первой и второй фаз:

где учтено, что в силу закона сохранения вещества в процессе химического превращения

В уравнениях (1.3)

Vj, v2 — среднемассовые скорости фаз 1 и 2,

Складывая почленно интегральные уравнения (1.3), получим уравнение сохранения массы двухфазной смеси:

Уравнения сохранения импульса для первой и второй фаз можно записать в виде

где of7 = ol^1 -f- OjOjJ1; <*l = u-pf' + °i?/—истинный тензор

напряжений, связанный с действием поверхностных сил на первую фазу со стороны той же фазы на внешних границах выделенного объема V смеси фаз; — истинный тензор межфазных поверхностных сил, действующих на первую фазу со стороны второй фазы на внешних границах объема V; г,21)— объемная сила, отнесенная к единице объема смеси фаз и обусловленная взаимодействием между фазами внутри объема V за счет сил трения, давления, сцепления между фазами, эффекта присоединенных масс и т. д.; Fu, F2Jt — внешние массовые силы, действующие на частицы к-то компонента в первой и второй фазах. Четвертые слагаемые в правых частях (1.4) представляют собой изменение импульса соответствующей фазы за счет переноса вещества через границу раздела фаз. Например, переход 1 ->2 приводит к тому, что из первой фазы во вторую уходит импульс

а переход 2 -> 1 соответственно к тому, что из второй фазы в первую уходит импульс

где vft(12), Vj.,2!, — скорости масс к-то компонента, пересекающего границу раздела фаз в направлении соответственно 1 -? 2 и 2 -*? 1.

Если ввести в рассмотрение внешние среднемассовые силы, действующие на первую и вторую фазы

а также среднемассовые скорости масс, пересекающих границу раздела фаз v(12) и v(21) по формулам

то уравнения движения (1.4) примут вид

Складывая уравнения (1.5), получим уравнение сохранения импульса всей смеси:

Полная энергия единицы объема смеси & слагается из внутренней и и кинетической К энергий фаз:

Примем гипотезу локальной однородности фаз. Это значит, что в любом элементарном объеме смеси вещество каждой фазы (представляющее гомогенный л-компонентный раствор) принимается однородным вплоть до самой поверхности раздела фаз, и поэтому энергия фазы считается пропорциональной ее массе. Особенности поверхностного слоя вещества толщиной порядка радиуса молекулярного взаимодействия, являющегося границей раздела фаз, в условиях этой гипотезы учитываться не будут. Последнее справедливо, когда размеры включений, составляющих дисперсную фазу, много больше толщины слоя границы раздела фаз. В принятых предположениях внутренняя энергия единицы объема смеси является аддитивной по массе фаз:

При учете кинетической энергии будем принимать во внимание только ту часть кинетической энергии смеси, которая связана с массовыми скоростями viJe компонентов в фазах:

Здесь

где wik — диффузионная скорость к-го компонента в t-й фазе, определяемая соотношениями

Если ввести скорости относительного движения фаз

то кинетическая энергия смеси (1.8) примет вид

Таким образом, кинетическая энергия составной (многофазной и многокомпонентной) сплошной среды определяется не только ее движением как целого со скоростью v центра масс, но и скоростями относительного движения фаз w(. и скоростями относительного движения компонентов в фазах wiJe.

В действительности существуют еще мелкомасштабные (с характерным линейным размером, равным по порядку размеру неоднородностей смеси фаз) течения (например, пульсационные течения вокруг пузырей, обратные токи несущей жидкости около включений и т. п.). Кинетическая энергия таких движений в настоящей работе не учитывается.

Из (1.7)—(1.12) для энергии смеси фаз получим

Уравнения баланса полной энергии для каждой из фаз имеют вид

I

где первые слагаемые в правой части соответствуют притоку энергии соответствующей фазы через поверхность S; вторые и четвертые — работе внешних поверхностных сил П П2 и внешних массовых сил; ^{{j) характеризуют интенсивность обмена энергий между i-й и ;-й фазами; пятые слагаемые — притоки тепла через поверхность 5, характеризуемые векторами qlt шестые слагаемые представляют мощность внешних тепловых источников, расположенных внутри объема V.

Величины е(<ур характеризующие приток энергии от г'-й к jf-й фазе, отнесенный к единице объема и времени, представим в виде суммы следующих слагаемых:

где ш(<у) представляют передачу энергии от i-й к j-й фазе за счет работы сил взаимодействия (сил трения, давления, сцепления и т. д.) между фазами при перемещениях межфазных поверхностей; q{iJ) — теплообмен (контактный) между фазами и, наконец, третьи и четвертые группы слагаемых в (1.14) представляют изменение энергии фаз за счет массообмена между фазами. Переход j -> i приводит к тому, что из /-й фазы в ?-ю масса, пересекающая границу раздела фаз, приносит энергию

а переход i -+ j аналогично приводит к переносу энергии

из i-й фазы в j-ю. Таким образом, ukliJ) характеризует внутреннюю энергию массы к-го компонента, переходящего через границу раздела фаз в направлении i -? /.

Определим диффузионные скорости межфазного переноса массы равенствами

С учетом (1.18) суммы (1.16) и (1.17) можно представить в виде

С учетом (1.15) и (1.19) уравнения баланса полной энергии фаз (1.14) примут вид

Складывая уравнения (1.20), мы получим уравнение сохранения полной энергии двухфазной многокомпонентной смеси внутри объема F, которая может изменяться только за счет действия внешних источников:

Из сравнения (1.5) и (1.6), (1.20) и (1.21) видно, что в зависимости от направления (1 2 или 2 -? 1) результирующего по

тока массы через границу раздела фаз его силовое и энергетическое воздействие на отдельную фазу нельзя учесть сменой знака в скорости фазового перехода, так как в общем случае

У(ф?=У(л/> “k и эффекты в пра

вых частях уравнений для отдельной фазы (1.5) и (1.20), связанные с Jk(ij)t J{{j), Jk(j{) и Jj{)> различны. Одиако для всей смеси силовой и энергетический эффект можно учесть сменой знака в скорости межфазного потока массы, так как этот эффект входит в уравнения смеси в целом через разность Jk{ij)и — Л/о* Дифференциальные уравнения. Многокомпонентность фаз требует введения диффузионных потоков компонентов

Определим для каждой фазы оператор субстанциональной производной (здесь и далее везде суммирование только по верхним индексам, относящимся к проекциям на координатные оси)

Применяя теорему Гаусса—Остроградского к уравнениям (1.2) и учитывая (1.22) и (1.23), получим дифференциальные уравнения сохранения массы к-то компонента в фазах 1 и 2:

или, переходя к массовым концентрациям c{k=p{kjp{,

Члены в первых круглых скобках в правых частях уравнений (1.24) учитывают изменение концентрации к-то компонента за счет его притока в объем или удаления из объема рассматриваемой фазы. Последние члены связаны с изменением концентрации /с-го компонента из-за изменения массы рассматриваемой фазы, происходящего за счет суммарных потоков вещества через границу раздела фаз.

Суммируя уравнения (1.23а) по всем компонентам, получим уравнения сохранения массы 1 и 2 фаз:

Применим теорему Гаусса—Остроградского к уравнениям (1.5); получим дифференциальные уравнения движения 1 и 2 фаз:

Каждая из фаз представляет гомогенную смесь (смесь газов, раствор), компоненты которой взаимодействуют на молекулярном или атомарном уровне. Обычно скорости относительного движения компонент малы и их нужно учитывать лишь в связи с определением концентраций компонент, в то время как динамическими и инерционными эффектами диффузионных скоростей можно пренебречь

тогда уравнения движения фаз примут вид

При выводе дифференциальных уравнений баланса полной энергии фаз заметим, что на основании уравнений сохранения массы (1.25) можно записать

Применяя теорему Гаусса—Остроградского к уравнениям (1.20) и учитывая (1.29), получим дифференциальные уравнения баланса полной энергии в каждой из фаз:

Уравнения (1.30) отличаются от соответствующих уравнений для однокомпонентпых двухфазных смесей 134) наличием членов с квадратами диффузионных скоростей. В условиях диффузионного приближения (т. е. пренебрегая членами порядка квадрата диффузионных скоростей) из (1.30) будем иметь

Для получения дифференциальных уравнений баланса кинетической энергии смеси умножим уравнения (1.28) внутренним образом на соответствующие значения скоростей фаз vy и i/a:

Вычитая уравнения (1.32) из уравнений баланса полной энергии фаз (1.31), получим дифференциальные уравнения баланса внутренней энергии в каждой из фаз:

Уравнения (1.33) получены из формальных балансовых соотношений, и их непосредственная конкретизация связана со значительными трудностями. Как показано в работах [34, 37], в общем случае предпочтительнее исходить из аналогичных соотношений в виде уравнений притока тепла первой и второй фаз, которые для рассматриваемого случая можно записать в виде

В уравнениях (1.34) величины р{А{ представляют работу внутренних сил в единице объема i-й фазы за единицу времени. Остальные члены суть притоки тепла, причем z4k(jti и xikUj) количества тепла, передаваемого от i-й фазы к веществу к-то компонента, совершающего переход / -* i и i -*? ] соответственно, и отнесенные к массе к-го компонента, претерпевающего этот переход. Последние члены дают мощность работы внешних массовых сил при диффузии различных компонентов в пределах первой и второй фаз.

Конкретизация модели движения дисперсной смеси требует явного определения мощности работы внутренних сил в единице объема i-й фазы р4Аг В принятых допущениях двухфазная система описывается однодавленческой (с давлением Р) двухтемпературной 1 и Т2) моделью вязкой жидкости, а мощность работы внутренних сил в единице объема i-й фазы может быть представлена в виде (34)

Здесь первое слагаемое дает мощность работы сил давления при изменении объема i-й фазы, а второе представляет диссипируемую энергию в i-й фазе из-за внутренних вязких сил, проявляющихся как за счет градиентов в поле скоростей и{1 так и за счет взаимодействия с другой фазой. Непосредственное определение второго слагаемого в случае многофазной системы является затруднительным. Поэтому для его определения воспользуемся структурой уравнений (1.33) и допущениями, вытекающими из анализа движения включений в несущем потоке среды

Коэффициенты показывают долю диссипируемой кинетической энергии смеси из-за силового взаимодействия составляющих, переходящую непосредственно во внутреннюю энергию i-й фазы. Кроме того, в силу дисперсности среды работу тензора вязких напряжений имеет смысл учитывать только в несущей фазе (фаза 1). Сила взаимодействия между несущей средой и включениями представляется в виде

где первое слагаемое связано с взаимодействием поля давления на включения (архимедова сила), а второе — со скоростной не- равновесностью между фазами (несовпадением и v2), которая в общем случае обязана трем эффектам: действию стоксовой силы трения, эффекту «присоединенных масс» и дополнительному воздействию на включения, возникающему из-за градиентов в поле средних скоростей несущей фазы (силы Магнуса или Жуковского) (341.

С учетом (1.35)—(1.37) уравнения притока тепла (1.34) примут

вид

а уравнения баланса кинетической энергии фаз (1.32) запишутся

Уравнения (1.23а), (1.28), (1.38) и (1.1) образуют обобщенную систему гидромеханических уравнений, которая может служить основой полного математического описания многофазных многокомпонентных смесей с химическими реакциями и процессами тепло- и массопереноса. Однако эта система уравнений еще не замкнута: не определены кинетические и равновесные характеристики фаз. Для замыкания этой системы необходимо привлечение дополнительных (термодинамических и механических) свойств фаз, рассмотрение энергетических переходов при фазовых превращениях, учет равновесия многокомпонентных систем, формулировка метода определения кинетических параметров уравнений.

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы