ИССЛЕДОВАНИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ ПОТОКОВ В АППАРАТАХ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ НА ОСНОВЕ МЕТОДОВ ИДЕНТИФИКАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Математическая модель с распределенным источником для потоков в насадке и метод определения ее параметров

Для математического описания потоков в слоях насадки часто используется диффузионная модель (см. § 4.2), согласно которой продольное перемешивание вещества в потоке, движущемся со средней скоростью vQ в направлении х и во времени /, описывается уравнением

где D — коэффициент продольного перемешивания; с — концентрация вводимого индикатора.

Параметры этой модели D и v0 обычно определяются путем анализа функции отклика системы на возмущение по составу потока, для чего используются различного типа индикаторы. Однако для систем с ярко выраженной структурной неоднородностью или многофазных систем, где распределение долей объема между фазами заранее неизвестно, анализ структуры потоков на основе индикаторных методов иногда затруднителен. Трудности анализа функций отклика па возмущения по составу потока обусловлены тем, что существенный вклад в неравномерность распределения элементов потока по времени пребывания в аппарате могут вносить такие явления, как молекулярная диффузия в поры и капилляры твердых частиц системы, в пленки и карманы в пространстве между этими частицами, конвективная и вихревая диффузия в застойных зонах системы, адсорбция и десорбция на поверхности частиц и стенок, ограничивающих поток, и т. п. Отмеченное обстоятельство может служить причиной значительных ошибок в определении действительных значений параметров гидродинамической обстановки в аппарате по индикаторной методике.

Для эффективного анализа гидродинамической обстановки в технологическом аппарате целесообразно применение комбинированных методик, совмещающих приемы нанесения индикаторных возмущений с другими, неиндикаторными методами. Сопоставление данных, полученных разными (независимыми) методами, может служить источником значительного объема информации о системе.

В настоящем разделе будет рассмотрен пример такой комбинированной методики Ц ].

Описание модели. Рассмотрим поток в аппарате с насадкой, объем которого может быть представлен как сумма V=V1--V2t где Vj — эффективно используемый объем (объем проточных зон); V2 — объем, который может служить стоком или источником массы (объем застойных зон). К последней части объема можно отнести объем застойных зон, объем твердых частиц, объем поро- вого пространства в частицах, элементах насадки, стенках аппарата и т. д. Плотность источника или стока, т. е. количество выделяемого или поглощаемого вещества в единице объема в единицу времени, определяется характером обмена, который может происходить в объеме и на поверхности за счет как молекулярной, так и турбулентной диффузии.

Допустим, что на входе потока в аппарат в момент *=0 импульсом (в виде S-функции) равномерно по сечению S ввели некоторый объем Van не реагирующего с основным потоком индикатора. Принимая диффузионный механизм перемешивания в проточной части аппарата и учитывая наличие в потоке источников (стоков) массы, уравнение материального баланса для вещества индикатора, введенного в поток, можно записать в виде [1—3]

где q — плотность источника (стока); р=1IVt — относительный объем источника (стока) массы; v — линейная скорость потока в проточной зоне (в объеме Vj).

Для закрытого аппарата длиной I граничные условия будут следующие:

Интегрируя уравнения (7.2)—(7.3) по t в пределах от /=0

со

до t=z оо и вводя обозначение 7=Jcd?, получим

о

где Q — объемный расход потока. Два последних члена в уравнении (7.4) равны пулю, так как при импульсном возмущении V2 является сначала стоком, а затем источником массы.

Сведем краевую задачу (7.4)—(7.5) для обыкновенного дифференциального уравнения к однородной путем замены переменной:

Единственно возможным решением системы (7.6)—(7.7) является /j = 0 или

Для нахождения среднего времени пребывания представим уравнение (7.2) совместно с граничными условиями (7.3) в виде

|

где

Переменную плотность источника q можно представить как изменение емкости источника g во времени, т. е. q = dgjdt, тогда

или, интегрируя по частям, получим

Однородность структуры насадочного слоя позволяет предположить равномерный закон распределения источников по длине слоя. В этом случае /?=const.

Решением неоднородного уравнения (7.9) с граничными условиями (7.10) является интеграл

где

и G(xy ) — функция Грина, являющаяся решением соответствующей однородной задачи:

Подстановка соотношений (7.13) и (7.12) в (7.11) дает

откуда

или

Из последнего уравнения следует важный вывод о том, что наличие источников (стоков) массы в потоке может привести к существенным ошибкам в расчетах среднего времени пребывания системы по известному соотношению [4, 5]:

Покажем, что наличие источников (стоков) массы приводит к деформации всей функции распределения, т. е. что моменты высших порядков должны рассчитываться с учетом источников (стоков). Для этого умножим все члены уравнения (7.2) и граничных условий (7.3) на t2 и произведем интегрирование по t в пределах от t=О до /=оо. В результате будем иметь

где

Однородная задача, соответствующая задаче (7.14)—(7.15), останется прежней, поэтому функция Грина в данном случае определяется аналогично (7.13). Решением задачи (7.14)—(7.15) является

или

где

Используя ранее найденные значения для G (х, S) и / (?), вычислим интеграл (7.16):

откуда

Таким образом, решением задачи (7.14)—(7.15) на конце аппарата (х = 1) будет

где /(*)(/) — значение интеграла (7.17) при х = 1.

Подставим полученное решение (7.18) в выражение для дисперсии функции отклика системы на импульсное возмущение:

тогда

где

причем — часть дисперсии, обусловленная рассеиванием индикатора в проточных зонах потока; oJ2— часть дисперсии, обусловленная наличием застойных зон.

Известная формула определения дисперсии [6]

представляет собой частный случай формулы (7.19), в которой при отсутствии источников oj2=0.

Полученные результаты могут быть использованы для решения ряда практических задач. Во-первых, если известна физическая природа источников массы, можно численно определить значения среднего времени пребывания и коэффициента продольного перемешивания в проточной части аппарата, величину относительного объема застойных зон и т. п. Другой важной задачей является определение суммарного вклада источников (стоков) массы в общий вид экспериментальной функции отклика системы.

Многие попытки решения этих задач следует признать неудачными из-за существенных недостатков в методике постановки эксперимента. Так, использование специальных индикаторов, не проникающих в поры и капилляры твердых частиц системы, как правило, не приводит к желаемым результатам, так как дает возможность учесть лишь один из видов гидродинамических источников (стоков) массы — поры и капилляры, не позволяя оценить величину объема застойной жидкости в пространстве между твердыми частицами системы. Такими же недостатками обладают методы парафинирования колец насадки, а также методы, основанные на сравнении функций распределения, получаемых на пористых и непористых насадках.

Здесь мы рассмотрим метод раздельного и независимого определения параметров гидродинамической структуры потоков в насадке, в известной мере свободный от недостатков перечисленных методов. Метод основан на использовании характерных особенностей поведения системы в условиях неустановившейся гидродинамической обстановки в аппарате.

Сначала построим математическую модель неустановившегося потока дисперсной фазы в слое насадки, исходя из вероятностностатистических представлений о струйном или капельном течении дисперсной среды.

Математическая модель неустановившегося потока дисперсной фазы в слое насадки [7]. Рассмотрим объем колонны достаточно больших размеров, равномерно заполненный беспорядочно уложенной насадкой, в котором происходит случайное неориентированное движение струй или капель (пузырей) дисперсной фазы. Струи (капли, пузыри) рассматриваются как однородные изолированные макроэлементы, не подверженные эффектам слияния (коалесценции) и разбиения (редиспергирования). При построении вероятностно-статистической модели процесса будем полагать, что случайный характер движения дисперсной фазы в насадке подчиняется закономерностям непрерывного марковского процесса. Это значит, что вероятность перехода элемента дисперсной фазы, находящегося в момент времени t0 в точке М0 насадочного пространства, в точку М, достаточно близкую к точке М0, за время Д*, отсчитываемое от момента t0, не зависит от состояния системы до момента t0.

Введенную таким образом вероятность перехода, которую обозначим F (Л/, t; Л/0, /0), представим в виде F (Л/, t M0l t0)= =р (М, t MQ, *0) ДУ, где р (Л/, t; М0, t0) — плотность вероятности перехода; AV — объем окрестности точки М; t=t0--At.

Плотность вероятности перехода р (Л/, t; М0, t0) имеет смысл доли объема аппарата Vзанятого дисперсной фазой в окрестности точки М насадочного пространства в момент времени t, т. е. локальной динамической удерживающей способности Я аппарата в окрестности точки М. Весь объем дисперсной фазы, поступающей из точки Л/0, примем равным единице. При этом основное свойство плотности вероятности для нашего случая примет вид

Принятые допущения о характере случайного процесса в насадочной колонне позволяют на основании формулы полной вероятности представить вероятность перехода F (Л/, /; Л/0, /0) в виде интеграла Лебега—-Стильтьеса:

где t0 < 0 < t N — точка, в которую попадает элемент дисперсной фазы в момент 0.

Соотношение (7.21), отражающее марковское свойство процесса и известное как функциональное уравнение Колмогорова—Чэпмена, приводит к аналогичному соотношению для плотности вероятности перехода:

которое называют уравнением Эйнштейна—Колмогорова.

Если начальная локальная удерживающая способность в момент времени t0 равна х (М), то в соответствии с уравнением Эйнштейна—Колмогорова динамическая удерживающая способность h (М, t) вблизи точки М для моментов времени ty больших

равна

Физическая картина движения дисперсной среды в насадке позволяет сформулировать ряд дополнительных допущений, приняв которые можно перейти от интегрального уравнения (7.22) к более удобному для практических целей прямому уравнению Колмогорова. Рассматривая одномерное движение дисперсной фазы в направлении оси х, сформулируем допущения, смысл которых сводится к существованию первых трех инфинитезимальных моментов функции распределения вероятности перехода [8, 9].

Примем, что существует конечная скорость v (tj , t) упорядоченного движения элементов дисперсной среды:

где — т))/т — средняя скорость макроэлемента дисперсной фазы, переходящего за время х из положения г, в положение х. Реальное продвижение потока дисперсной фазы с конечной скоростью вдоль колонны с насадкой доказывает естественность этого допущения.

Примем, что зависимость среднего квадрата отклонения от времени при малых величинах х линейна:

где параметр Dr (*)» <) может рассматриваться как характеристика сглаживания фронта гидродинамического возмущения, наносимого по расходу дисперсной фазы.

Примем, что третий инфинитезимальный момент функции распределения вероятности перехода равен нулю

Это допущение можно рассматривать как аналог условия Ляпунова в центральной предельной теореме, и по смыслу оно означает, что за малые промежутки времени более вероятны малые отклонения, чем большие. Экспериментальное исследование спектра фронта гидродинамического возмущения, предпринятое в ряде работ [10—12], показывает, что плотность функции распределения по скоростям частиц дисперсной среды быстро убывает по мере удаления от центра распределения. Последнее подтверждает принятое допущение.

На основании упомянутых трех допущений, из которых первые два являются требованиями к гладкости функции распределения вероятности перехода, нетрудно сделать переход от функционального уравнения (7.22) к прямому уравнению Колмогорова [8, 9]:

Если рассматриваемый процесс однороден в пространстве и времени, т. е. функция Н зависит только от разности х—х0 и t—t0, то параметры Dr и v не зависят от х и /, являясь постоянными, и уравнение (7.23) принимает вид

Уравнение (7.24) можпо рассматривать как математическую модель неустановившегося потока дисперсной фазы в слое насадки. Параметр Dr модели характеризует степень сглаживания фронта гидродинамического возмущения по мере его движения через насадочный слой. Сглаживание фронта возмущения может быть вызвано различными причинами, например неравномерностью движения отдельных его струй, явлением образования и слияния капель на поверхности элементов насадки, наличием противотока второй фазы и т. п. Важно подчеркнуть, что коэффициент Dr в модели (7.24) характеризует только проточную часть системы. Застойная ее часть в виде статической удерживающей способности не оказывает заметного влияния на величину Dt. Таким образом, есть основания полагать, что коэффициент Dг в модели (7.24) и D в модели (7.2) представляют собой одну и ту же физическую характеристику потока.

Уравнение (7.24) лежит в основе определения средней скорости потока v и коэффициента продольного перемешивания D в проточной части аппарата (в объеме Vx), т. е. искомых параметров модели с распределенным источником (7.2), путем анализа функции отклика системы на гидродинамическое возмущение.

Прямой метод определения продольного перемешивания в слое насадки [12]. Эксперимент следует организовать так, чтобы жидкость для орошения насадочного слоя отбиралась из некоторой калиброванной емкости, в которую поток направляется по выходе из слоя. Тогда изменение уровня в калиброванном сосуде относительно некоторого установившегося его положения будет отражать поведение удерживающей способности в нижнем сечении насадочного слоя при колебаниях системы относительно установившегося состояния, соответствующего исходному положению уровня в емкости. Например, при ступенчатом изменении расхода жидкости, циркулирующей в таком замкнутом контуре, изменение положения уровня в калиброванном сосуде происхо-

t

дит в соответствии с законом j [ 1 — F (0)] d0, где F (0) — без-

о

размерная реакция системы в нижнем сечении насадочного слоя на ступенчатое возмущение удерживающей способности в его верхнем сечении. По окончании переходного процесса уровень жидкости в емкости будет пропорционален величине

00

j [1 — F (6)J dO, т. е. в некотором масштабе будет соответствовать

о

среднему времени пребывания I.

Действительно, обозначая через Д?/ изменение уровня в калиброванном сосуде относительно установившегося положения, соответствующего удерживающей способности Я0, при ступенчатом возмущении по расходу потока ДL„ можно записать

или, по окончании переходного процесса,

где ЬЬШЫХ(1) — отклонение объемного расхода жидкости через нижнее сечение насадочного слоя от его значения L0 в установившемся состоянии; SK — площадь поперечного сечения калиброванного сосуда. Подставляя в (7.26) очевидные соотношения

где S — площадь поперечного сечения колонны, VG — свободный объем насадки, и переходя к безразмерному времени 0, имеем

откуда среднее время пребывания системы с учетом принятых граничных условий есть

Для нахождения коэффициента продольного перемешивания D воспользуемся известным соотношением для определения дисперсии о2 из /'’-кривой 16]:

где 0 — среднее время пребывания системы, записанное в безразмерном виде. При использовании уравнения (7.29) для обработки экспериментальных данных верхний бесконечный предел интегрирования можно заменить конечным 0К, представляющим безразмерное время, в течение которого переходный процесс практически полностью затухает. В этом случае дисперсия о2 определяется приближенно в виде

Вычислим интеграл в последнем выражении, применяя метод интегрирования по частям таким образом, чтобы для нахождения дисперсии можно было использовать экспериментальную запись изменения положения уровня калиброванной емкости во времени:

Подставляя пределы интегрирования, имеем

где функция есть первообразная от подынтегральной функции.

Из рис. 7.1, на котором в безразмерных координатах изображен^ типичная экспериментальная кривая измененпя положения уровня в калиброванном сосуде, видно, чтОс?>(0)=0. Последнее обстоятельство позволяет записать

а также

Учитывая (7.30) и (7.31), имеем или

Заметим, что

где Sx площадь, заштрихованная на рис. 7.1.

Таким образом, с учетом граничных условий (7.3) окончательная формула для экспериментального определения дисперсии гидродинамическим методом принимает вид

При известной дисперсии значение критерия Пекле Ре определяется из уравнения (7.20).

При подаче импульсного гидродинамического возмущения система выводится на установившийся режим, после чего либо в верхнее сечение слоя насадки равномерно по площади быстро вводится нормированный объем жидкости, либо на короткое время прекращается подача жидкости в слой. В этом случае изменение уровня жидкости в калиброванной емкости соответствует интегралу реакции системы в нижнем сечении слоя насадки (F- кривая). Определение параметров D и I из ^-кривой может быть проведено по известной методике [10, 111,

Типичная кривая изменения уровня в калиброванной емкости при ступспчатом возмущении расхода потока

Рис. 7.1. Типичная кривая изменения уровня в калиброванной емкости при ступспчатом возмущении расхода потока

Сравпепио импульсных функций отклика, полученных прямым и индикаторным методом

Рис. 7.2. Сравпепио импульсных функций отклика, полученных прямым и индикаторным методом

1 — гидродинамический метод; 2 — индикаторный метод. (Насадка — кольца Рашига 10X10, L=6795 кг/м*ч, С-2038 кг/м*ч)

Кривые вымывания, полученные прямым и индикаторным методами (?=3218 кг/мч, G=2250 кг/мч); нижняя кривая — гидродинамический метод; верхняя кривая — индикаторный метод

Рис. 7.3. Кривые вымывания, полученные прямым и индикаторным методами (?=3218 кг/м2ч, G=2250 кг/м2ч); нижняя кривая — гидродинамический метод; верхняя кривая — индикаторный метод

Особенности гидродинамического метода, связанные с использованием синусоидального возмущения, рассмотрены в работах [3, И, 13].

Экспериментальная проверка изложенной методики определения параметров D и I модели (7.2) строилась на сравнении опытных кривых распределения времени пребывания, получаемых индикаторными методами и методами гидродинамических возмущений (3, 11—14]. На рис. 7.2 и 7.3 изображены в одних и тех же координатах типичные кривые отклика системы, полученные индикаторным и прямым методами. Опыты проводились на насадочной колонне диаметром 150 мм. Насадкой служили кольца Рашига размерами 10x10 и 15x15. Высота слоя насадки составляла 2 м. В качестве двухфазной системы использовалась система воздух—вода. В качестве жидкой фазы применялись также растворы СаС12 в воде различной концентрации и растворы глицерина в воде. Физические свойства жидкой фазы изменялись в следующих пределах: плотность — от 1 до 1,4 [г/см3], вязкость — от 1 до 41 сп. Пределы изменения нагрузок по фазам были: плотность орошения L=227— 000 кг/м2час, нагрузка по газу G=1050—5200 кг/м2час, отношение нагрузок LIG= =0,05-f-15.

При папесепии гидродинамических возмущений колонна функционировала по замкнутому циклу (см. рис. 7.4). Возмущения

Л. Схема экспериментальной установки

Рис. 7Л. Схема экспериментальной установки

  • 1 — колонна с насадкой;
  • 2 — измерительный цилиндр с баком;

J — насосы;

  • 4 — линия подачи возмущений;
  • 5 — ротаметры;

в — демпфер пульсаций;

  • 7 — уровнемер;
  • 8 — измерение концентраций;
  • 9 — система стабилизации расхода жидкости (а — расходомер, б — регулятор); ю — расходомер для воздуха

по расходу жидкости подавались импульсным методом как в положительную сторону (мгновенным равномерным вводом в верхнее сечение насадочного слоя нормированного объема жидкости), так и в отрицательную (прекращением подачи жидкости на 0,5— 2 сек). Функция отклика представляет собой изменение количества жидкости в нижнем сечении слоя насадки. С помощью калиброванного сосуда эта функция интегрировалась и непрерывно записывалась на диаграммной ленте вторичного прибора в виде F- кривой. В большинстве исследуемых гидродинамических режимов наблюдалось удовлетворительное совпадение кривых отклика на импульсные возмущения разного знака.

Полученные таким образом кривые отклика использовались затем для определения эффективного среднего времени пребывания потока в аппарате I и дисперсии оъп функции распределения в проточной части аппарата. По величине I рассчитывались значения V1 и значения динамической удерживающей способности колонны II[=V1IV.

Наряду с изложенным методом определения динамической удерживающей способности, последняя определялась также методом «отсечки» потоков Н™с.

Для определения параметров гидродинамической структуры насадочного аппарата в полном его объеме с учетом влияния всех присущих ему неоднородностей были проведены опыты с индикатором. Возмущения наносились импульсным и ступенчатым методами. В качестве индикатора использовался раствор КС1. Ввод импульсов раствора производился в ороситель колонны. Ячейка анализа выходной концентрации, работающая по принципу измерения электропроводности, была помещена непосредственно под нижней границей насадочного слоя. Запись выходной концентрации осуществлялась непрерывно. Обработка экспериментальных кривых распределения производилась с коррекцией результатов на дополнительные объемы до и после исследуемой секции колонны.

Экспериментальные кривые отклика, полученные индикаторным методом, обрабатывались по методике, вытекающей из математического описания потока диффузионной моделью:

при граничных условиях

где I — длина участка колонны с насадкой; v0 —- средняя скорость потока, отнесенная к полному количеству жидкости в слое насадки.

По индикаторным функциям отклика определялось среднее время пребывания индикатора в потоке 1иа и дисперсия oj, которые затем использовались для расчета полного объема V жидкостной фазы в колонне и средней скорости и0.

На рис. 7.5 показана зависимость динамической удерживаю щей способности Я определенной методом отсечки (Я°тс) и рассчитанной по функциям отклика на гидродинамические возмущения (Яр) от плотности орошения при различных нагрузках по газу. Видно, что величина Н1% найденпая обоими методами, возрастает как при увеличении плотности орошения, так и при повышении расхода газа. Величина Я°тс в режимах до точки инверсии фаз превышает значение Яр.

Рпс. 7.5. Зависимость динамической удерживающей способности при различных нагрузках по газу

Н?10 - Д - G — 4580;

? __ G, = 4030;

Д — G,=3270;

О — С«=2620;

S — G»=2260;

О — С,=0;

Hf- ? -Ci = 4580;

В — С,=4030;

  • ? — Ga=3270;
  • • — С«=2620;

<1 — G*=2260; х — G,=0

Рабочей, или истинной динамической удерживающей, способностью следует считать Яр, так как при определении удерживающей способности методом отсечки возможны ошибки за счет слива жидкости из части застойных зон насадочного слоя. С увеличением интенсивности гидродинамического режима разница в значениях Нг> определенных обоими методами, уменьшается и в режиме эмульгирования полностью исчезает.

В результате обработки опытных данных по динамической удерживающей способности, определяемой прямым методом Япри отсутствии нагрузки по газу (G=0), было получено следующее эмпирическое уравнение:

при значениях критерия Галилея Ga=(d®gp2)/fi2 4 • 104

при Ga = -%1>4.10*

Диапазон изменения критерия Галилея составлял: 1,165* 103 ^ 7.

Здесь dr — диаметр частицы насадки, м; рж — плотность жидкости, кг/м3; — вязкость жидкости, кг сек/м2; L — плотность орошения, ъ?/масек; g — ускорение свободного падения, м/сек2; аг удельная поверхность насадки, м”1.

При получении эмпирической зависимости для динамической удерживающей способности Нг в условиях двухфазной системы была принята во внимание тесная связь между количеством жидкости, удерживаемым в колонне, и перепадом давления АРтк на колонне. В режимах до точки подвисания, т. е. при vT!vna < < 0,85, получена следующая зависимость:

в режимах, более интенсивных, т. е. при ve/vaua > 0,85, эмпирическое уравнение принимает вид

В уравнениях (7.34), (7.35) уж — удельный вес жидко

сти; А#! — прирост 'динамической удерживающей способности Н1р в двухфазной системе (G=?0) по сравнению с величиной динамической удерживающей способности Я при отсутствии противотока газа (ДЯ1=//1—Я).

Использование изложенной методики позволило установить зависимость статической удерживающей способности ЯСТ2 от гидродинамических режимов в аппарате и проследить экстремальный характер этой зависимости [11, 141. Зависимости были получены путем вычитания величины динамической удерживающей способности, определенной как методом «отсечки», так и прямым методом из значений полной удерживающей способности, рассчитанных по кривым отклика системы на индикаторное возмущение. Возрастание Я2 с увеличением нагрузок по обеим фазам до точки экстремума (лежащей в районе точки подвисания vr/vHOt— =0,85) объясняется возрастанием активной поверхности насадки по мере увеличения нагрузок по газу и жидкости. Дальнейшее увеличение нагрузок, переводящее систему в более интенсивный гидродинамический режим (vr/vHna > 0,85), приводит к развитию турбулентности потоков, вовлечению жидкости в застойных зонах в турбулентный обмен и, как следствие, к уменьшению статической удерживающей способности. В режиме развитой турбулентности возникновение застойных зон в насадке маловероятно. Статическая, а также динамическая удерживающая способности, определяемые методом «отсечки» и прямым методом, в этом режиме принимают примерно одинаковые значения по обоим методам.

В результате обобщения экспериментальных данных для статической удерживающей способности получены следующие эмпирические зависимости: при 0,3 < < 0,85

17 и и»

при 0,85

^вв»

гДе упв1 — скорость газа в точке инверсии; vr — рабочая скорость газа, рассчитанная на полное сечение аппарата, м/сек; dd — эквивалентный диаметр насадки, м; G — нагрузка по газу, кг/м2час.

Проведено сравнение коэффициентов продольного перемешивания и чисел Пекле, определенных прямым (при характеристике проточных зон) и индикаторным методами. Сравнение показало, что коэффициенты продольного перемешивания, определяемые индикаторным методом, значительно (в некоторых режимах в несколько раз) превышают те же значения, найденные прямым методом. Разница между теми и другими исчезает в режиме эмульгирования. Аналогичная картина наблюдается и для чисел Пекле. Совпадение параметров Ре и D, определяемых прямым и индикаторным методами в интенсивных гидродинамических режимах, объясняется снижением объема застойных зон, т. е. уменьшением их роли в формировании индикаторной выходной кривой распределения.

Анализ влияния физических свойств жидкости на величину критерия Пекле показал, что числа Пекле в жидкости возрастают с увеличением плотности жидкости рж и уменьшаются с возрастанием вязкости жидкости рж.

В результате обработки экспериментальных данных для числа Пекле в проточной зоне аппарата получены следующие эмпирические зависимости:

"•Ч?;)(г?*Г'

"”и 0'86te)(d-7r)oiro>085

Г, vdr

где Perf = -0-.

Сравнение результатов настоящей работы с данными [15—17] показало, что данные упомянутых работ лежат значительно ниже результатов настоящей работы. Как уже отмечалось, эти расхождения объясняются тем, что расчет чисел Пекле по индикаторным кривым отклика в работах [15—171 не предполагает деления рабочего объема аппарата на эффективно используемый объем и объем «мертвых» застойных зон.

Анализ математической модели для потоков в насадке при заданном механизме обмена между проточными и застойными зонами. Выше был рассмотрен так называемый прямой метод определения параметров модели с распределенным источником, позволяющий исследовать систему без конкретизации характера обмена между проточными и застойными зонами. Метод предполагает нанесение гидродинамических возмущений по расходу потока и последующий анализ соответствующих функций отклика в виде изменения удерживающей способности на выходе из слоя насадки.

Параметры указанной модели могут быть также определены путем обработки функций отклика на возмущения по концентрации индикатора в потоке. Здесь эта задача будет решена для случая заранее заданного механизма обмена веществом между проточными и застойными зонами системы. Будем полагать, что характеристики этого механизма учитывают вклад различных видов обмена, происходящих в слое насадки. Такая постановка задачи позволяет детально исследовать математическую модель с распределенным источником для широкого класса экспериментальных схем, каждая из которых определяется сочетанием конкретных граничных условий с определенным способом ввода возмущения и анализа соответствующей функции отклика [18].

Математическую модель потока жидкости в насадке представим в следующем виде:

для проточной зоны:

для застойной зоны:

Введем обозначения

Здесь I — длина исследуемого участка колонны с насадкой; S — площадь поперечного сечения колонны; Q — объемная скорость потока; Уаи — количество введенного импульсом индикатора (кмоль); D — коэффициент продольного перемешивания в проточной зоне; #!, #2 — доля соответственно проточной и застойной частей потока; к — константа скорости обмена между проточной и застойной зонами; Rlt R2 —* безразмерная концентрация индикатора в проточной и застойной зонах соответственно; Q — безразмерное время; z — безразмерная координата в продольном направлении; а — безразмерная скорость обмена.

Пусть исследуемая секция насадочной колонны, расположенная между сечениями 2=0 и z=z1, ограничена с обоих концов полу- бескопечными участками насадочных зон, характеристики которых отличны от характеристик центральной зоны (см. табл. 4.2). Ввод индикатора осуществляется в точке z0, анализ функций отклика производится в точке zm. В случае импульсного входного возмущения математическая модель (7.40)—(7.41) для экспериментальной схемы, изображенной в табл. 4.2, запишется следующим образом:

при Z ^ 0 при 0 ^ z ^ zx при z zl

Граничные условия: при 0>О

Очевидно, что при 9 = 0 Rl = R2 = Ra х = Rb х = На 2 = Rb 2 = 0.

В принятой математической модели искомыми параметрами являются: Pe=(M/Z)//1S — число Пекле для проточной части аппарата; a=kSllQ — безразмерная скорость обмена веществом между проточными и застойными зонами; — относительный объем проточных зон; Н2 — относительный объем застойных зон.

Чтобы определить эти параметры, найдем выражение для первых двух моментов функции распределения времени пребывания системы с застойными зонами. Преобразуя по Лапласу уравнения (7.42)—(7.47) относительно временной коордииаты, получим систему обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с искомыми функциями:

Решение полученной системы для участка слоя насадки от z=0 до 2=2j при граничных условиях, соответствующих соотношениям (7.48)—(7.53), имеет вид

где

В частности, для сечения z = zm, в котором осуществляется экспериментальный анализ функции отклика, решение записывается

Учитывая, что и

находим связь между средним временем пребывания в безразмерной форме 0 и дисперсией распределения о2, с одной стороны, и параметрами модели, с другой. Форма этой связи существенно зависит от организации анализа концентрации индикатора в потоке. Здесь можно выделить три случая: 1) измерение функции распределения производится в проточной части сечения z=zM; 2) анализ концентрации организован в застойной части сечения z—zm; 3) измеряется средняя по всему сечению z=zm концентрация индикатора в потоке.

В экспериментальной практике наиболее распространен первый случай. Однако второй и третий случаи не исключаются. Так, третий случай может иметь место при использовании в качестве индикатора радиоактивных изотопов. При этом сцинтил- ляционные счетчики, располагаемые вне аппарата, фиксируют обычно среднюю концентрацию частиц в расчете на полное сечение потока исследуемой фазы.

Пользуясь соотношениями (7.54)—(7.57) запишем выражевия первых двух моментов функции распределения времени пребывания для трех перечисленных случаев организации анализа выходной концентрации.

Первый случай (9 о2):

ГПО

Третий случай (03, о*). Концентрацию, среднюю для проточных и застойных зон потока, можно определить соотношением

или в преобразованном по Лапласу виде

Подставляя в уравнение (7.63) Ях и Л2 из уравнений (7.54) и (7.55) и используя соотношения (7.56) и (7.57), получаем искомые формулы для третьего случая:

Соотношения (7.58)—(7.65) позволяют определить искомые параметры Ре, а, IIх и //2 путем статистической обработки экспериментальных кривых отклика на импульсное возмущепие по концентрации индикатора в потоке. Расчетные формулы для определения первых двух моментов кривой распределения при условии анализа концентрации в проточных зонах аппарата для различных экспериментальных схем приведены в табл. 7.1. Аналогичная таблица (см. табл. 7.2) построена в работе [61 для случая обработки кривых отклика обычной диффузионной моделью (7.1).

Для определения четырех упомянутых выше параметров опыты следует проводить по принципу совмещенной экспериментальной схемы. Совмещение это может быть проведено различными путями. Так, если ввод индикатора осуществить*^ сечении z0=0, а анализ соответствующей функции отклика организовать в проточной части двух последовательно расположенных сечений но длине слоя (в сечении zm=z1 и в некотором промежуточном сечении), то искомые параметры могут быть определены из четырех уравнений, записанных в IV и VI строках табл. 7.1.

Эту задачу можно решить, организовав анализ концентрации в одном каком-либо сечении аппарата двояким образом: путем измерения концентрации в проточной части сечения и путем измерения средней концентрации индикатора в полном сечении потока исследуемой фазы.

Таблица 7.1

Расчет первых двух моментов функции РВП, полученных на основе модели (7.40)—(7.4!)

Таблица 7.2

Расчет первых двух моментов функции РВП, полученных на основе модели (7.1)'

Данные, представленные в табл. 7.1, позволяют проследить связь между моделью с застойными зонами, и обычной диффузионной моделью, для которой подобная таблица была получена в работе [161 (см. табл. 7.2). Из табл. 7.1 видно, что выражения для первых двух моментов распределения отличаются от соответствующих выражений табл. 7.2 членами, содержащими скорость обмена и относительный объем застойных зон. Интересно отметить, что для принятого механизма обмена среднее время пребывания потока в системе с застойными зонами не зависит от скорости обмена и формулы для его определения совпадают с выражениями, полученными для обычной диффузионной модели. Так, переходя к размерному времени I, имеем

или

Величина же дисперсии индикаторной кривой распределения для системы с застойными зонами является функцией обоих параметров а и р.

Рассмотрим ряд предельных случаев.

Скорость обмена бесконечно велика: а оо. При этом концентрация индикатора в застойных и проточных зонах выравнивается (Rl^R2) и выражения для первых двух моментов кривой распределения переходят в соответствующие выражения для обычной диффузионной модели. В насадочной колонне этот случай имеет место практически вблизи точки инверсии, где скорость обмена резко повышается за счет развития турбулентности потоков.

Скорость обмена очень мала: а -> 0, р — конечная величина. Среднее время пребывания ^ остается без изменения. Дисперсия oj неограниченно возрастает.

В проточной части аппаратарежим идеального вытеснения: Ре -? оо, т. е. D -+ 0. В этом случае

а при измерении средней концентрации получим

т. е. при анализе средней концентрации индикатора в потоке дисперсия функции распределения превышает дисперсию распределения, определяемую в проточной области системы.

Если в рассматриваемом случае скорость обмена неограниченно возрастает (а -? оо), a (3 остается конечной величиной, то модель с застойными зонами переходит в модель идеального вытеснения:

Перейдем теперь к рассмотрению более общего случая матема-

тической модели с распределенным источником (стоком) массы в насадке. Принимая в проточной области системы по-прежнему диффузионную модель, зададим механизм обмена между проточными и застойными зонами, исходя из других соображений.

В общем случае, плотность распределенного источника может отличаться от плотности стока массы в потоке. Отмеченное обстоятельство может иметь место, например, при адсорбции вещества, растворенного в жидкости или газе, на поверхности насадки, когда константа скорости адсорбции ку не совпадает с константой скорости десорбции к2. При этом математическая модель рассеивания вещества в потоке жидкости или газа в насадке примет вид:

для проточной зоны:

для застойной зоны: или в безразмерном виде

kxSl k2Sl

где ctj == —, a2 =t

Рассмотренная выше модель (7.40), (7.41) представляет собой частный случай модели (7.66), (7.67), когда ах= ct12=к).

Проведенное заново решение системы (7.68), (7.69) в соответствии с изложенной выше схемой приводит к следующим выражениям для среднего времени пребывания и дисперсии функции распределения системы (для экспериментальной схемы, соответствующей табл. 4.2):

при анализе концентрации в проточной части сечения z=zm:

при анализе концентрации в застойной части сечения:

где

Расчетные формулы для определения 0, и oj в соответствии с моделью (7.68), (7.69) для различных экспериментальных схем приведены в табл. 7.3. Сравнение данных, представленных в табл. 7.3 и табл. 7.1, свидетельствует о том, что при а,^а2 среднее время пребывания вещества в системе зависит от скорости обмена между проточными и застойными зонами, в частности от отношения aja^. Эта зависимость исчезает только при <%. Дисперсия так же, как и в случае модели (7.40), (7.41), является функцией параметров скорости обмена и относительного объема застойных зон системы.

В зависимости от соотношения скоростей обмена ах2 можно рассмотреть несколько частных случаев.

Отношение скоростей обменаконечная величина: а12=г. При этом w=l-|-r/p, и выражения первых двух моментов распределения для случая X в табл. 7.3 принимают вид

что совпадает с аналогичными зависимостями, полученными в работе 119] при математическом описании процесса адсорбции в насадке.

В системе отсутствует сток индикатора: ах -* Ои а2 — конечная величина, т. е. ajа2 -> 0. В этом случае формулы в табл. 7.3 для определения среднего времени пребывания и дисперсии переходят в выражения, получаемые для обычной диффузионной модели. Так, при аг I а2 -* 0 формулы в X строке таблицы принимают вид:

Процесс обмена носит необратимый характер: плотность гидродинамического источника близка к пулю, интенсивность стока является конечной величиной: ах — конечная величина, си -» 0, т. е. а2х -* 0. Оба момента кривой распределения неограниченно возрастают, однако отношение их остается конечной величиной. Так, для случая X в табл. 7.3 это отношение равно

Таблица 7.3

Расчет первых двух моментов функции РВП, полученных на основе модели (7.66) — (7.67)

Для тех же условий, при которых записано отношение (7.70), в работе (19] было получено аналогичное отношение на основе представления потока жидкости (газа) в насадке в виде ячеечной модели с застойными зонами:

где п — число ячеек.

Сравнение отношений (7.70) и (7.71) приводит к известной связи между непрерывным (диффузионным) и дискретным математическим описанием потоков в слоях насадки:

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >