ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОНДЕРОМОТОРНЫХ СИЛ В МАГНИТНОМ ПОДЕ ПРИ НЕЛИНЕЙНЫХ СВЯЗЯХ МЕЖДУ ПОТОКОСИЕПЛЕНИЯМИ И ТОКАМИ

Конструкция магнито- провода

Рис. 1.11. Конструкция магнито- провода:

1 - пуп, потока; 2 - якорь; 3 - полюсы; 4 - станина (ярмо)

Для усиления магнитного поля магнитопровод электромеханического преобразователя энергии выполняется их электротехнической стали, основу которой представляют ферромагнитные материалы (рис. 1.11). Благодаря высокой магнитной проницаемости, примерно в 1000 раз большей проницаемости воздуха, размеры электрических контуров (обмоток) удастся существенно уменьшить и тем самым снизить электрические потери. Об эффекте влияния ферромагнетиков позволяет судить табл. 1.1. В ней представлены силы, действующие на различные вещества весом 1 г, помещенные в магнитное поле соленоида[1].

Таблица 1.1

Сила, действующая на образец весом 1 г в магнитном поле В = 1,8 Тл

Вещество

Формула

Сила*, Н

Диамашегики:

медь

Си

-2.6- 1(TS

свинец

РЬ

VI

1

О

Г"

1

графит

С

VI

о

о

7

Парамагнетики:

натрий

Na

+20?105

алюминий

А1

+ 17 ? 10~5

хлористая мед ь

СиС1

+280- 10~5

Ферромагнетики: железо

Fe

+40

магнетит

Fe304

+12

* Направление силы: (+) - втягивание, (-) - выталкивание в вертикально расположенный соленоид.

Характерный вид зависимости потокосцепле- ния от тока для электротехнической стати

Рис. 1.12. Характерный вид зависимости потокосцепле- ния от тока для электротехнической стати

В целом применение ферромагнитных сплавов в качестве материала для мапштопровода позволило по сравнению с первыми электромеханическими преобразователями энергии уменьшить их размеры, вес и стоимость примерно на порядок. Масштабы расхода электротехнической стали сопоставимы с расходами листовой стали в автопромышленности.

Ферромагнитные материалы обладают сложной зависимостью между магнитным потоком (потокосцеплени- ем) и током |/(/). На рис 1.12 представлен характерный вид j/(/) без учета явления гистерезиса.

В возникающей нелинейной среде собственные и взаимные индуктивности становятся функциями нс только геометрии магнитной системы, характеризуемой обобщенными координатами д,..., qP но и токов ik? Дтя определения пондеромоторной силы в магнитном поле в рассматриваемых условиях, как и ранее, воспользуемся законом сохранения энергии и принципом виртуальных перемещений.

Как было показано в разделе 1.3, энергия, подводимая к контурам, за вычетом потерь на джоулсво тепло, затрачивается на изменение запасенной магнитной энергии dWm и совершение механической работы (совершаемой пондеромоторными силами вдоль координаты qi). При этом предполагается, что остальные координаты остаются постоянными (виртуальное перемещение), т. с.

Дтя этих условий имеем

Так как потокосцспления vp„ и энергия W„, являются функциями токов контуров /„ и перемещения q„ то дифференциалы указанных величин равны

Подставляя последние выражения в уравнение (1.52) и группируя слагаемые при 5с/, и di,„ найдем

В соответствии с принципом виртуальных перемещений понде- ромоторная сила (заметим, она является потенциальной силой), действуюшдя вдоль координаты bqt. К такому выводу можно прийти двумя путями. В первом случае наше доказательство основано на том положении аналитической механики, что в голономных системах с двухсторонними связями, к ним относится и наш случай, вариации совер- шенно произвольны. Поэтому, полагая di„ = 0, сразу получим искомое выражение для силы, действующей вдоль координаты 5qr.

которая, как показывает вывод, не зависит от изменения токов.

Такой же результат получится, если мы докажем, что второе слагаемое в (1.53) равно нулю. Для этого преобразуем его, поменяв порядок суммирования в двойной сумме (1.53) [8]:

Далее найдем производную dWJdi„ следующим образом. Выражение для Ww находится при фиксированном положении контуров = const:

Отсюда найдем искомую производную, учитывая, что токи /„ являются независимыми переменными, т. с.

и, таким образом, найдем

После подстановки найденною значения производной в (1.55) — оно действительно оказывается равно нулю, т. е. получился тот же результат, что и ранее, но со значительно большими усилиями. Но зато он показал независимость силы от характера связи между токами И ПОТОКОСЦСПЛенИЯМИ V|/(/').

Выражение для силы удобно представить через значение ко- энергии Wn't. Она возникает в результате интегрирования интеграла энергии по частям. Дифференцируя возникающее уравнение (1.56) по перемещению с/, и комбинируя его с (1.54), получим выражение для силы через значение коэнергии W',

так в теории нелинейных систем называют энергию IV',.

На зависимости у„(/„) (рис. 1.13), приведенной для некоторого фиксированного положения (q, = const), показана связь межту энергией и коэнергией, представленными в соответствии с уравнением

(1.56). Здесь площадь криволинейного треугольника ОАВ определяет значение энергии, а площадь треугольника ОВС соответствует коэнергии для данного положения, характеризуемого коэффициентами Wm = lV'n, и только для этого случая справедливо

о чем указывалось выше в разделе 1.3.

Представление запасенной магнитной энергии и коэнергии

Рис. 1.13. Представление запасенной магнитной энергии и коэнергии

Приведенный вывод был сделан для случая, когда роль независимых переменных играли токи и перемещения. Однако, как было показано в разделе 1.3, в качестве независимых переменных вместо токов могут быть приняты потокосцепления, т. е. мы будем иметь дело с функциями вида

Поиск механической (пондеромоторной) сизы и для этого случая проводится так же, как было сделано выше. Используем для этого в качестве исходного уравнения уравнение мощности (1.52), откуда, учитывая условие (1.51), дифференциат dWm запишется как

Подстааыя его в уравнение (1.52), получим

Слагаемое, заключенное в круглые скобки, равно нулю. Эго нетрудно установить, так как

Это ожидаемый результат, который подтверждает правильность проведенного решения: левые и правые части уравнения (1.52) при произвольной вариации 8(/, должны быть равны, что может быть достигнуто только при условии, когда слагаемое в круглых скобках будет равно нулю. В итоге найдем следующее выражение для пондеромоторной силы:

которая, как показывает форма записи, находится при фиксированных значениях потокосцсплений у,, и координат ц, для всех г ф /.

Другое выражение для силы найдем через коэнергию. Д ля этого возьмем частную производную по ц, от уравнения (1.56) с учетом того, что с/, и - независимые переменные, тогда от выражения силы (1.61) перейдем к другой форме

Все четыре формы выражения для силы (1.54) - (1.57), действующей вдоль координаты q„ сведены в табл. 1.2. Они определяют пондеромоторную силу, действующую вдоль координаты q, при фиксированных значениях остальных независимых переменных. Об этом говорит их представление через частные производные. И напомним, что это силы, представляющие равнодействующую всех сил, действующих на каждый элемент контура тока в окружающем его магнитном поле. Можно говорить, что приведенные в таблице выражения для силы есть другая форма выражений для силы, полученная Ампером, распространенная на контур тока.

Таблица 1.2

Механические силы в магнитном поле

Независимые

переменные

Силы, вычисленные по запасенной энергии

Силы, вычисленные по коэнсргии

Токи /,„ координаты c{j

dW * Эш

F, =---+I in —

°4i <>q,

5 1 ^

и

ЕС

Потокосцепления , координаты c{j

dWm

дс/, и=1 д q,

Приведем еще один способ поиска выражения силы [27]. Он основан на том, что функция энергии является силовой функцией. Рассмотрим поставленную задачу для случая двух контуров токов, полагая, что их взаимное положение определяется одной координатой qh полагая, как и ранее, фиксированными остальные.

Анализ начнем с уравнений баланса энергии, который показывает, что мощность, подводимая к контурам, преобразуется благодаря индуцированным электродвижущим силам

где и'к = ик - ikRk,

Заметим, что производные

представляют собой динамические индуктивности - собственные Lkk и взаимные Lkny причем всегда вьшолняегся условие

Как указывалось выше, только в этом случае выполняется третий закон Ньютона, и это же необходимое условие считать функцию энергии потенциальной функцией.

Выразим частные производные сЧщ/о/„ (к, п = 1,2) через энергию в магнитном поле IV,,,. Из выражения

проводя интегрирование по частям, получим

где сумма интегралов в правой части представляет коэнертию, как она была названа выше. Частные производные от последнего уравнения по токам ik

приводятся к такому визу, во-первых, потому что справедливы следующие равенства:

являющиеся следствием потенциальной природа функции энергии IV,„ которое распространяется и на функцию коэнергии W'n, т. е. W'n может быть найдено при /2 = 0, a W'n2 при i = const так же, как это делалось выше при поиске IV,,,. В первом случае W'l2 = 0, во втором W'm| = const, т. е. они являются постоянными. Но не пото- косцсплсния! При h = 0 потокосцспление второго контура у2 существует как поток взаимоиндукции от тока ц, т. е. у2 = уп и поэтому di2/di ф 0. На рис. 1.14 показано, каким образом найдутся W,„ и IV,,, при выбранной выше траектории, а также возможный характер изменения потокосцситения взаимоиндукции.

К определению энергии и коэнергии мал u m ю-связ ai и шх контуров (для некоторого фиксированного положсшш х = const)

Рис. 1.14. К определению энергии и коэнергии мал u m ю-связ ai и шх контуров (для некоторого фиксированного положсшш х = const)

Во-вторых, учтено, что токи /1 и /2 являются независимыми пе- ременными, поэтому

Приведенные уравнения позволяют выразить производные по- токосцеплений dy/di через соответствующие производные от энергии Wm от токов /1 и /г. Так как токи и перемещения являются независимыми переменными, то выражение

преобразуется к виду

где

В результате исходное уравнение баланса мощностей (см. формулу (1.63)) (энергии в единицу времени) преобразуется к виду

Сумма, стоящая в круглых скобках, представляет производную от запасенной энергии, что нетрудно установить. Так как wm{i,i2,qi), имеем

где все слагаемые обусловлены индуцированными электродвижущими силами, вызванными изменениями токов и положения контуров, причин, приводящих к изменению магнитного потока, пронизывающего контур.

С учетом последнего выражения для dWJdt (1.54) уравнение сохранения энергии (в единицу времени), обобщенное на произвольное число контуров, запишется

ШИ

Здесь последнее слагаемое в правой части представляет энергию, которая преобразуется в механическую энергию, совершаемую пондеромоторной силой, действующей вдоль координаты

которая находится как частная производная от коэнергии по перемещению. Этот результат идентичен ранее найденному (см. (1.58)), и его следует считать основной формулой выражения силы, из которой вытекают другие, приведенные в табл. 1.2.

Здесь полезно рассмотреть, каким образом в уравнении мощностей (1.65), обусловленных индуцированными электродвижущими силами, оказалась и механическая мощность. И хотя этот вопрос уже рассматривался ранее в разделе 1.3, в силу его важности мы здесь рассмотрим его под несколько другим углом зрения - на примере, приведенном на рис. 1.5.

Потокосцеплсния контуров и запасенная энергия для этого случая запишутся как

Полагая далее для простоты, что Li и являются постоянными вс лиши тми, a Z,|2 = Z-2I есть функция углового положения y(q)

выражения для ЭДС при фиксированных токах а мощность, определяемая ими,

Найдем далее развиваемую электромагнитную (механическую) мощность. Повдеромогорная сила для рассматриваемого случая (линейной среда)

а соответствующая мощность при скорости у = со

Сравнивая оба выражения для мощности, можно записать

Отсюда следует, что половина мощности, обусловленной индуцированными ЭДС движения (при фиксированных токах, на что указывает индекс /), преобразуется в механическую (электромагнитную) мощность, а другая половина, наряду с мощностью, созданной трансформаторными ЭДС, связана с изменением запасенной энергии. Об этом указывалось и ранее в разделе 1.2. И здесь мы снова укажем, что увеличить (уменьшить) механическую мощность за счет указанной доли мощности принципиально невозможно, она связана, подчеркнем, с двумя сторонами единого процесса преобразования энергии.

Приведенные выше рассуждения о делении мощности 50/50 справедливы для электрически линейных систем, которые характеризуются равенством энергии и коэнергии. В нелинейной среде, как видно из уравнений (1.64) и (1.65), это равенство нарушается. Дтя рассматриваемого случая электромагнитная мощность определяется коэнергией

а мощность, затрачиваемая на изменение запасенной энергии,

Различие между приведенными выражениями прежде всего качественное. В первом случае мы имеем электрическую мощность, преобразуемую в механическую мощность за счет пондеромотор- ной силы F,, возникающей при взаимодействии контура тока с магнйтным полем. Во втором случае мы имеем дело с электрической мощностью, затрачиваемой на изменение запасенной (электрической) энергии. Сила F,„, является условной силой в том смысле, что благодаря внутренним связям с се помощью находится часть энергии, созданная ЭДС движения, идущей на изменение запасенной энергии.

Пример 1.2. Для устройства, приведенного на рис. 1.15, получена зависимость

Найти пондеромоторную (механическую) силу, действующую на подвижный элемент (якорь).

Электромагнит с подвижным сердечником (а) и кривые намагничивания vj/(/') для различных положений сердечника (6)

Рис. 1.15. Электромагнит с подвижным сердечником (а) и кривые намагничивания vj/(/') для различных положений сердечника (6)

Решение. Используя (1.58), получим

Покажем теперь, как пондеромоторная сила Fx найдется из баланса монщостей, который получится на основе уравнения напряжений

После умножения его на ток /

на основе известных преобразований получим

Здесь только последнее слагаемое представляет мощность, преобразуемую в механическую мощность

где сила

равна полученному выше выражению.

В то же время, если считать, что механическую мощность в (1.57) представляет слагаемое

получим силу

которая значительно больше найденной выше согласно (1.58). То сеть при отсутствии затрат мощности, связанных с изменением запасенной энергии, развиваемая сила была бы значительно больше. Разница между силами Fx и F'x в том, что первая действительно существует и может быть непосредственно измерена на постоянном токе, тогда как вторая есть итог формальной интерпретации составляющих механической мощности, что приводит к ошибочному результату.

  • [1] Парселл Э. Электричество и магнетизм. Т 2. - М.: Наука, 1978.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >