Геометрический смысл производной и дифференциала

Все аналитические характеристики и особенности функции хорошо отражаются на ее графике. Выясним, какие геометрические построения отводятся производной и дифференциалу. Зафиксировав значение аргумента „т₀ и выбрав

Рис. 10.14. Геометрический смысл производной и дифференциала

произвольное приращение Дх, отметим все те элементы графика функции у =/(х), которые приводят к понятию производной, и далее, дифференциала (рис. 10.14).

Прямая, проходящая через точки N и М называется секущей графика функции у = f(x). Из прямоугольного треугольника AMN находим, что угловой коэффициент к секущей равен тангенсу угла наклона этой прямой к оси Ох, т.е.

Ду

равен отношению —. Если Дх —*• 0, то это отношение, по определению, стремится к значению производной f’(x) в точке х₀. Между тем, при Дх —*? 0 переменная точка N вдоль графика стремится к точке М и поэтому секущая стремится занять некоторое предельное положение, которому отвечает угол а и, соответственно, угловой коэффициент к. Итогом этого процесса является следующее определение.

Определение 10.20. Предельное положение секущей называется касательной к графику функции у =/(х) в точке М.

Теперь, если объединить два аспекта — геометрический и аналитический, заключаем, что угловой коэффициент k касательной равен значению производной f'(x₀):

По координатам точки М(х₀,/(х₀)) и угловому коэффициенту k = /'(х₀) уравнение касательной к графику функции у = /(х) в точке М записывается в следующем виде:

Здесь х, у — координаты произвольной точки касательной, т.е. текущие координаты.

Поскольку .г - х₀ = Дх, то приращение у - /(х₀), которое при переходе от х₀ к х₀ + Ах получает ордината точки касательной, есть не что иное, как дифференциал dy в точке xq.

Замечание. Физический смысл дифференциала состоит в том, что он выражает путь, которое прошло бы тело с момента времени t, если бы, начиная с этого момента, движение стало равномерным. Графиком пути этого равномерного движения как раз и является касательная к графику функции S = S(t) в точке, соответствующей моменту времени t.

Определение 10.21. Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной, называется нормалью.

Угловой коэффициент к₂ нормали определяем из условия перпендикулярности двух прямых кф₂ +1 = 0, т.е. находим

Поэтому уравнение нормали имеет следующий вид:

Подведя итог рассмотренному материалу, дадим следующее фундаментальное определение.

Определение 10.22. Функция у = /(х) называется дифференцируемой при х = х₀, если при этом значении х она имеет производную (или дифференциал).

Производная и дифференциал играют фундаментальную роль в математике и ее приложениях. Вычисление производной /'(х) (или дифференциала dy) называется дифференцированием функции /(х); этой операцией необходимо овладеть каждому, кто намерен пользоваться в своей работе математическими методами.