Системы линейных уравнений с двумя неизвестными

Рассмотрим систему линейных уравнений:

10.б. Элементы линейной алгебры 427

Указанные формулы Крамера работают для систем с п — числом неизвестных, но при этом существенно возрастают трудности вычисления определителей гс-го порядка.

Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса)

Любая линейная система

может быть записана в виде так называемой векторной форме Ах = b, где

при этом система однозначно определяется так называемой «расширенной» матрицей:

Последнее представление можно считать компактной записью самой системы, где j-я строка соответствует j-му уравнению системы.

Известны элементарные преобразования, которые приводят к эквивалентной системе.

  • 1. Перемена местами любых двух строк матрицы или любых двух уравнений системы.
  • 2. Умножение любой строки матрицы или любого уравнения системы на число, отличное от нуля.
  • 3. Прибавление к какой-либо строке матрицы (или другого уравнения), умноженной на некоторое число.

Сущность метода Гаусса состоит в том, что с помощью элементарных преобразований любая система (и соответствующая расширенная матрица системы) может быть приведена к ступенчатому верхнетреугольному виду (при котором в расширенной матрице все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю), допускающему непосредственное решение.

Пример

Для линейной системы

запишем «расширенную» матрицу

Оставляя первую строку без изменения и вычитая утроенную первую строку из второй и удвоенную первую строку из третьей и четвертой, получим эквивалентную систему:

Вычитая вторую строку из третьей, придем к более простой матрице:

и после вычеркивания третьей строки получим в итоге верхнетреугольную ступенчатую матрицу:

которая соответствует системе

имеющей решение х$ = i,x2 - О, Х = -1.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >