ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА § 1. Комплексные числа и действия над нимиПонятие комплексного числа.Сложение и умножение комплексных чисел.Вычитание и деление комплексных чисел.Геометрическое изображение комплексных чисел.Геометрическое изображение комплексных чисел.Геометрическое истолкование сложения и вычитания комплексных чисел.Понятие о модуле и аргументе.Теоремы о модуле и аргументе.Геометрическое изображение числа .Геометрическое построение произведения и частного комплексных чисел.ПределыОсновной принцип теории пределов.Понятие предельной точки.Ограниченные и неограниченные последовательности комплексных чисел.Теорема Больцано-Вейерштрасса.Понятие сходящейся последовательности комплексных чисел.Основные теоремы теории пределов.Критерий Коши. Числовая сфера. Бесконечно удалённая точкаИзображение комплексных чисел на сфере. Бесконечно удалённая точка.Формулы стереографической проекции.Основное свойство стереографической проекции.Сохранение углов.РядыПонятие сходящегося и расходящегося ряда.Необходимый признак сходящегося ряда.Понятие абсолютно сходящегося ряда.Сложение и вычитание рядов.Теорема о двойных рядах.Перестановка членов ряда.Умножение рядов.УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ IКОМПЛЕКСНОЕ ПЕРЕМЕННОЕ И ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГОФункции комплексного переменногоПонятие функции комплексного переменного.Понятие области. Линия Жордана.Непрерывность функции комплексного переменного.Теорема о равномерной непрерывности. Лемма Гейне-Бореля.Ряды функцийПонятие равномерно сходящегося ряда.Теорема о непрерывности суммы ряда.Признак равномерно сходящегося ряда.Степенные рядыПонятие области сходимости степенного ряда.Первая теорема Абеля.Круг сходимости.Понятие наибольшего предела.Определение радиуса сходимости.Равномерная сходимость степенного ряда.Вторая теорема Абеля.Дифференцирование функций комплексного переменного. Элементарные функцииПонятие производной.Понятие функции, аналитической в области.Понятие дифференциала.Условия Коши-РиманаСопряжённые гармонические функции.Дифференцирование степенных рядов. Показательная функция.Однолистные функции. Обратные функции.Радикал, логарифм и арксинус.Ветви многозначных функций. Понятие о римановой поверхности.Конформное отображениеГеометрический смысл аргумента производной.Геометрический смысл модуля производной.Конформное отображение.Конформное отображение II рода.Геометрический смысл дифференциала.Главная часть отображения w = f(z).УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ IIЛИНЕЙНЫЕ И ДРУГИЕ ПРОСТЕЙШИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯЛинейная функцияЦелая линейная функция.Функция w = 1/z Общая линейная функция.Круговое свойство линейной функции.Параметры и инвариант линейного преобразования. Отображение верхней полуплоскости в самого себя. Инвариантность пары взаимно симметричных точек при линейном преобразовании.Отображение круга на верхнюю полуплоскость.Отображение круга самого в себя.Представление линейного преобразования посредством симметричных отображений.Различные типы линейных преобразований.Природа двойных точек.Геометрическая интерпретация эллиптического преобразования.Характер преобразования круга самого в себя.Линейные преобразования и геометрия ЛобачевскогоЕвклидово изображение на круге геометрии Лобачевского. Вычисление неевклидова расстояния двух точек с данными аффиксами.Неевклидова окружностьНеевклидова длина кривой.Неевклидова площадь.Горициклы.Гиперциклы.Евклидово изображение геометрии Лобачевского на полуплоскости.Неевклидова длина окружности.Угол параллелизма в геометрии Лобачевского.Неевклидовы площади круга и треугольника.Некоторые элементарные функции и отображения, даваемые имиСтепенная функция и радикал.Показательная и логарифмическая функции.УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ III ТЕОРЕМА КОШИ. ИНТЕГРАЛ КОШИ § 1. Интегралы по комплексному переменномуПонятие интеграла по комплексному переменному.Основные свойства интеграла по комплексному переменному.Интегрирование равномерно сходящегося ряда. Теорема Коши.Теорема КошиОсновная лемма.Приведение доказательства теоремы Коши к простейшему случаю.Доказательство теоремы Коши.Понятие неопределённого интеграла в комплексной области.Распространение теоремы Коши на случай сложных контуров.Логарифмическая функция.Лемма. Обобщение теоремы Коши. Интеграл КошиФормула Коши.Распространение формулы Коши на случай сложных контуров.Интеграл типа Коши. Существование производных всех порядков для функции, аналитической в области.Теорема Морера.Различные точки зрения в построении теории аналитических функций.О предельных значениях интеграла типа Коши.О предельных значениях интеграла типа Коши в случае, когда граничная функция удовлетворяет условию Гельдера-Липшитца.Интеграл Пуассона.УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ IVРЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ, РАЗЛОЖЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ В СТЕПЕННОЙ РЯД § 1. Равномерно сходящиеся ряды аналитических функцийПервая теорема Вейерштрасса.Ряд ТейлораПриложение теоремы Вейерштрасса к степенным рядам.Разложение аналитической функции в степенной рядПонятие голоморфной функции и его эквивалентность с понятием аналитической функции.Свойство единственности аналитических функций.Принцип максимального модуля. Нули аналитической функции.Порядок нуля. Неравенства Коши для коэффициентов степенного рядаТеорема Лиувилля.Вторая теорема Вейерштрасса.УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ VИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ ОДНОЗНАЧНОЙ ФУНКЦИИРяд ЛоранаРазложение аналитической функции в ряд Лорана.Правильная и главная части ряда Лорана.Единственность разложения Лорана.Классификация особых точек однозначной функцииТри типа изолированных особых точек.Устранимая особая точка.Полюс.Связь между нулём и полюсом.Существенно особая точка.Поведение функции в окрестности изолированной особой точки.Поведение аналитической функции в бесконечностиОкрестность бесконечно удалённой точки.Разложение Лорана в окрестности бесконечно удалённой точки.Поведение функции в окрестности бесконечно удалённой точки.Условия обращения интеграла типа Коши в интеграл Коши.Простейшие классы аналитических функцийЦелые функции.Мероморфные функции.Разложение рациональной функции на простейшие дроби.Основная теорема алгебры.Приложения к гидродинамикеНевихревой и свободный от источников поток жидкости.Характеристическая функция потока.Обтекание круглого цилиндра потоком без циркуляции.Чисто циркулярный поток.Общий случай.УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ VIТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ § 1. Общая теория вычетовВычет функции относительно изолированной особой точки.Основная теорема о вычетах.Вычисление вычета функции относительно полюса. Вычет функции относительно бесконечно удалённой точки.Вычисление интегралаПриложения теории вычетовОсновная теорема алгебры.Теорема Руше.Приложения теории вычетов к вычислению определенных интегралов.Разложение ctg z на простейшие дроби.УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ VIIТЕОРЕМА ПИКАРАПредложение БлохаТеорема об обращении голоморфной функции.Доказательство предложения Блоха.Теорема ЛандауДоказательство теоремы Ландау.Малая теорема Пикара.Неравенство ШотткиВывод неравенства Шоттки. Обобщённое неравенство Шоттки.Общая теорема ПикараУПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ VIIIБЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ ИХ К АНАЛИТИЧЕСКИМ ФУНКЦИЯМБесконечные произведенияСходящиеся и расходящиеся бесконечные произведения.Основной критерий сходимости бесконечного произведения.Изображение голоморфной функции в виде бесконечного произведения.Приложения бесконечных произведений к теории целых функцийФормула Вейерштрасса.Изображение целой функции в виде бесконечного произведения.Изображение мероморфной функции в виде отношения двух целых функций.Задача Миттаг-Леффлера.Обобщение теоремы единственности аналитических функцийВозможные обобщения теоремы единственности аналитических функций.Формула Якоби и Иенсена.Доказательство теоремы единственности.Невозможность дальнейшего обобщения теоремы единственности для ограниченных функций.УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ IXАНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ § 1. Принцип аналитического продолженияПонятие аналитического продолжения.Понятие полной аналитической функции в смысле Вейерштрасса.Распространение функции действительного переменного на комплексную область по принципу аналитического продолжения.ПримерыПримеры однозначных функций.Примеры многозначных функций. УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ XЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Общие свойства эллиптических функцийОпределение эллиптической функции.Параллелограмм периодов.Основные теоремы. Эллиптические функции второго порядка.Функции ВейерштрассаЛемма.Функции Простейшие аналитические представления произвольной эллиптической функцииПредставление эллиптической функции в виде суммы простейших элементов.Представление эллиптической функции в виде отношения произведений элементарных множителей.Функции akЭллиптические функции ЯкобиФункции тэтаРазложение целой периодической функции.Функция 0.Функции 0k.Свойства функций тэта.Представление эллиптических функций Якоби посредством функций тэтаФормулы сложения для эллиптических функций ЯкобиУПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ XI ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯУсловия, определяющие конформное отображениеОтображение единичного круга самого на себя. Условия, определяющие единственность конформного отображения.Основные принципы теории конформного отображенияПринцип сохранения области.Принцип взаимно однозначного соответствия.Принцип симметрии Римана-Шварца.Обобщение принципа симметрии.Принцип Шварца аналитического продолжения.Принцип симметрии для гармонической функции.Приложение принципа симметрии.Общие преобразования единичного круга во внутреннюю областьАналитическое выражение голоморфной функции, преобразующей круг |z|Лемма Шварца.Приложение леммы Шварца к оценке производной функции, удовлетворяющей условиям леммы.Общая форма леммы Шварца.Существование двойной точки преобразования.Единственность аналитических функцийОднозначное определение аналитической функции по её граничным значениям.Обобщение теоремы единственности.Конформные отображения на верхнюю полуплоскость областей, ограниченных линиями второго порядкаРавносторонняя гипербола.Парабола.Гипербола и эллипс.Отображение внутренности эллипса на полуплоскость.Конформное отображение односвязных областейУпрощение постановки теоремы Римана.Вспомогательная функция и её основные свойства.Основная лемма.Доказательство предложения Римана.Соответствие границ при конформном отображенииПостановка задачи.Доказательство предложения о соответствии границ.Отображение на верхнюю полуплоскость прямоугольника и произвольного многоугольникаПрямоугольник.Эллиптическая функция Якоби.Многоугольник. Треугольник.Отображение внешней области многоугольника на верхнюю полуплоскость.УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ XIIОБЩИЕ СВОЙСТВА ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙПроблема коэффициентовВнутренняя теорема площадей.Внешняя теорема площадей.Верхняя граница для модуля коэффициента при z2 в разложении однолистной функции.Константа Кебе.Теорема искажения.Границы для модуля однолистной функции.Теорема вращения.Общая граница для модулей коэффициентов в разложении однолистной функции.Общая граница для модулей действительных коэффициентов в разложении однолистной функции.Границы выпуклости и звездообразностиГраница выпуклости.Граница звездообразности.Свойства функций, дающих однолистные конформные отображения единичного круга на области специального видаЗвездообразные и выпуклые функции.Верхние границы модулей коэффициентов в разложениях выпуклой и звездообразной функций.Экстремальные свойства функции, отображающей область на кругЛемма.Первая экстремальная проблема.Вторая экстремальная проблема.АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
 
  РЕЗЮМЕ   След >