Сохранение углов.

Рассмотрим две кривые на сфере, пересекающиеся в какой-либо точке Му и пусть касательные к этим кривым в этой точке образуют угол а (фиг. 14). Покажем, что касательные к стереографическим проекциям этих кривых в точке Мявляющейся проекцией точки М, также образуют угол а, т. е, что величины углов при стереографической проекции сохраняются. Для этого заметим сначала, что когда секущая к кривой стремится к совпадению с касательной к этой кривой, то проекция секущей стремится к совпадению с проекцией касательной и в то же время стремится к совпадению t касательной к проекции кривой. Отсюда следует, что проекция касательной к сферической кривой есть касательная к проекции этой кривой. Продолжим теперь касательные к сферическим кривым до пересечения в точках А и В с касательной плоскостью к сфере в точке Р. Очевидно, что треугольник АРВ равен треугольнику АМВ, так как сторона АВ общая для этих треугольников, АР = АМ как касательные к сфере, проведённые из одной и той же точки, и ВР = ВМ по той

же причине. Поэтому АРВ = АМВ = а. Но касательные к проекциям кривых параллельны прямым АР и ВР, так как эти касательные по предыдущему являются прямыми пересечения плоскостей РАМ и РВМ с плоскостью проекций. Следовательно, угол между ними равен

АРВ = а, что и требовалось доказать.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >