Необходимый признак сходящегося ряда.

Предполагая ряд (22) сходящимся, легко показать, что его общий член ип стремится к нулю при неограниченном возрастании номера п. Действительно, так как последовательность чисел sn сходится, то

так как

или, что то же,

Итак, во всяком сходящемся ряде общий член стремится к нулю при неограниченном возрастании его номера п. Равенство (24) выражает необходимый признак сходимости бесконечного ряда; следовательно, в тех случаях, когда этот признак не выполняется, ряд расходится. Так, например, ряд 1 —{— ^ ...

расходится при q^> 1, так как в этом случае его общий член qn не стремится к нулю при неограниченном возрастании п: при |1 число qn стремится к бесконечности, при | qn всё время равен единице. В предыдущем пункте мы видели, что этот ряд есть собственно расходящийся, если |^|^>1; при |q= 1, когда он собственно расходящийся), потому что в этом случае

1 — Оп

сумма первых п его членов sn = -j—— (q ф 1) не стремится к бесконечности при неограниченном возрастании п.

Установленный признак сходимости (24), будучи необходимым, не является достаточным, т. е. этот критерий может выполняться и в случае расходящегося ряда, как это показывает пример известного из анализа гармонического ряда

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >