Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Посмотреть оригинал

Отображение верхней полуплоскости в самого себя.

Верхнюю полуплоскость можно рассматривать как частный случай круга бесконечно большого радиуса. Займёмся вопросом: какова должна быть линейная функция, переводящая верхнюю полуплоскость плоскости z в верхнюю полуплоскость плоскости w. Из предыдущего пункта ясно, что для этого надо перевести действительную ось, ограничивающую верхнюю полуплоскость, самоё в себя.

Отметим на действительной оси плоскости z три точки а, р, у и предположим, что при нашем преобразовании они переходят соответственно в точки 0, 1, оо. В силу п. 5 получаем: если, например, а<^р<^у, то верхняя полуплоскость плоскости z с помощью формулы (6) перейдёт в верхнюю же полуплоскость плоскости w (фиг. 39); если же, например, у<1Р<я, то верхняя полуплоскость плоскости z перейдёт в нижнюю полуплоскость w (фиг. 40).

Линейное преобразование (7), переводящее верхнюю полуплоскость самоё в себя, можно представить в виде:

где a, b, с, d— действительные вполне произвольные числа, удовлетворяющие условию:

г, « dw adbe

В самом деле, из формулы —— мы усматриваем, что при

Фиг. 39. dw

действительном z производная ^ имеет положительные значения при условии adbc^> 0.

Фиг. 40.

Если же adbc<^ 0, то тогда функция (8) будет отображать верхнюю полуплоскость плоскости z на нижнюю полуплоскость плоскости w, а нижнюю ^-полуплоскость в верхнюю ^-полуплоскость.

 
Посмотреть оригинал
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы