Отображение круга на верхнюю полуплоскость.

Найдём преобразование, которое переводило бы верхнюю полуплоскость в круг с центром в нулевой точке единичного радиуса. Это преобразование мы ищем в виде:

Точки 0 и оо являются взаимно симметричными относительно окруж-

III Ь d

НОСТИ !ъу| = 1; им СООТВСТСТВуЮЩИе ТОЧКИ Z =-— и 2 =--по

доказанному в предыдущем пункте должны быть симметричными отно-

Ь о

сителыю действительной оси, т. е. полагая--— = р, имеем:

--= (Очевидно, с ф 0, так как бесконечно удалённой точке

плоскости z должна соответствовагь конечная точка плоскости w% а именно, точка, лежащая на окружности единичного радиуса.) Пользуясь введёнными обозначениями, перепишем равенство (10) в виде:

Гак как при 2 = 0, w =1, то из равенства (11) следует: Окончательно получаем:

В каком случае наш круг будет переходить в верхнюю полуплоскость? Центру круга w = 0 будет соответствовать в силу формулы (12) точка z=$. Отсюда видно, что, для того, чтобы круг переходил в верхнюю полуплоскость, надо, чтобы точка лежала в верхней полуплоскости, т. е. /(jj)^>0.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >