Отображение круга самого в себя.

Пусть дан круг с центром в нулевой точке единичного радиуса. Предположим, что п ри отображении круга |z|^l на круг |w|^l некоторая точка z=. = а(афО, |а|<1) переходит в нулевую точку w = 0. Точка, симметричная с нулевой точкой относительно окружности | w |= 1, будет, очевидно, бесконечно удалённой точкой. Таким образом, вследствие теоремы п. 7 мы должны иметь:

Итак, искомое преобразование будет иметь вид:

где k — постоянное число.

Перепишем формулу (13) в виде:

и заметим, что при z= ’Y==z и» следовательно, 11—az =

*=--а|=|«гг — а|.= |—а|. Так как окружности z= соответствует окружность. | w | = 1, то выводим, что |?'| = 1 и, следовательно, k' = eib. Итак, формула (13') примет вид:

Очевидно, результат (13') распространяется и на случай а = 0.

Окончательно: линейное преобразование, переводящее круг z ^ 1 самого в себя, будет иметь вид:

причём | а К 1; если же | а | ^> 1, то формула (15) переводит внутренность круга | z | ^ 1 во внешнюю часть круга | w | ^ 1.

Представление линейного преобразования посредством симметричных отображений.

Мы знаем, что всякое линейное преобразование (2) может быть разложено на следующие элементарные преобразования: 1) параллельный сдвиг, 2) вращение, 3) подобие,

4) преобразование вида w = —. С другой стороны, мы видели, что

преобразование 4) эквивалентно двум последовательным симметричным

1

соображениям относительно окружности и действительной оси. Что касается преобразования 1), то, очевидно, оно равносильно двум последовательным симметричным отображениям относительно двух параллельных лрямых (расположенных перпендикулярно к направлению сдвига на расстоянии друг от друга, равном половине сдвига). Преобразование 2)— вращение эквивалентно двум последовательным симметричным отображениям относительно двух пересекающихся прямых (с точкой пересечения в центре вращения и углом, равным половине угла вращения).

Наконец, преобразование 3) — подобие равносильно двум последовательным инверсиям относительно двух концентрических окружностей (с центром в центре подобия и отношением квадратов радиусов, равным модулю подобия).

Таким образом, всякое линейное преобразование (2) эквивалентно чётному числу симметричных отображений относительно прямых и окружностей. Это справедливо также и для бесконечно удалённой точки, если за соответствующую ей точку будем принимать при симметрии относительно прямой её самоё, а при инверсии относительно окружности — центр этой последней. Покажем, что справедливо обратное предложение, т. е. чётное число последовательных симметрий представляет некоторое линейное преобразование.

В самом деле, симметричное отображение (z, w)г) относительно окружности с центром в точке а и радиуса R может быгь аналитически записано так:

или

Чтобы представить аналитически преобразование симметрии относительно прямой, прибавим к рассматриваемой симметрии (z, w) две последовательные симметрии относительно параллельной прямой, проходящей через начало координат; затем две последовательные симметрии относительно действительной оси; всё это не изменит рассматриваемого преобразования (z, w); но, с другой стороны, группируя две первые симметрии, мы получим параллельный сдвиг (z, z--h)y группируя две следующие, мы получим вращение вокруг начала координат (z-j-Л, (z--h)en ) и тогда, чтобы получить wy остаётся выполнить симметрию относительно действительной оси, г. е.

или

что и выражает симметрию относительно прямой. [1]

Из рассмотрения формул (16) и (17) немедленно вытекает, что произведение двух любых симметрий есть линейное преобразование. Заметив, с другой стороны, что линейные преобразования образуют группу (т. е. произведение двух линейных преобразований есть снова линейное преобразование), мы заключаем, что чётное число последовательных симметричных отображений эквивалентно произведению некоторого числа линейных преобразований, а значит, одному линейному преобразованию.

  • [1] Символ (z, w) обозначает, что г преобразуется в w=zf(z).
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >