Неевклидовы площади круга и треугольника.

Пользуясь обозначениями п. 8 (фиг. 54), для неевклидовой площади круга получаем выражение:

Выполняя внутреннее интегрирование по ш в пределах от — к до -f- я, а наружное по р в пределах от 0 до R и заменяя в результате R через — ^,

А

найдём для 5 следующее выражение: или

Займёмся вычислением неевклидовой площади треугольника. Она будет выражаться следующим двойным интегралом:

где интегрирование берётся по области криволинейного треугольника АВС (фиг. 57).

Полагая в формуле Грина:

Р = — , Q = О, получим для S выражение:

Чтобы вычислить интеграл (32), подсчитаем сначала его значение вдоль дуги АВ. Принимая за начало координат центр окружности А В (параллель

Фиг. 57.

ный перенос вдоль оси Ох} очевидно, не меняет интеграла), найдём:

Таким образом, интеграл равен вариации 0 вдоль АВ с противоположным знаком, т. е. вариации с противоположным знаком а вдоль АВ, где а означает угол между положительными направлениями касательной к дуге АВ и оси Ох (фиг. 58). Искомый интеграл, следовательно, есть сумма вариаций а вдоль трёх сторон треугольника, взятая с противоположным знаком. Полная вариация этого угла а, когда точка описывает контур в положительном направлении, отравляясь ог какой-либо его точки и возвращаясь в неё, очевидно, равна 2я. R эту полную вариацию входит сумма, которая нас интересует, и сумма вариаций в вершинах А, В, С, каковые будут * — А, я—В, к —С. Таким образом, окончательно получаем:

Фиг. 58.

В силу своего геометрического смысла, определяемого формулой (32), этот интеграл существенно положителен, т. е. я — (Л-{-Я + С) > 0, откуда мы заключаем: сумма углов неевклидова треугольника меньше я. Кроме того, мы видим, что неевклидова площадь треугольника равна избытку я над суммой трёх его углов, умноженной на Л2.

В частности, неевклидова площадь любого треугольника не может превзойти конечной величины я№.

Эта максимальная неевклидова площадь, равная nk*% очевидно, будет у треугольников, у которых все три угла равны нулю. Легко видеть, что изображения всех вершин такого треугольника лежат на фундаментальной окружности, т. е. все три вершины будут бесконечно удалёнными точками плоскости Лобачевского.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >