Принцип максимального модуля.

Формула (44) гл. IV, § 3,

л. 1 принимает особенно простой вид, когда Г есть окружность | Ц| = R и z = 0. Полагая * = Rety, dС=? iRei<3f .найдём:

т. е. знамение голоморфной функции в центре круга равно среднему арифмети ескому её значений на окружности этого круга.

Пользуясь формулой (44'), можно установить весьма важный принцип теории аналитических функций, называемый принципом макси- мального модуля. Согласно этому принципу модуль функции, голоморфной в открытой области G, ни в какой точке этой области не может достигать своего максимума, за исключением случая, когда функция есть тождественное постоянное.

В самом деле, обозначим через М верхнюю границу модуля переменной функции f{z)y аналитической в области О, и предположим противное принципу, что в некоторой точке z0 области G модуль функции f (z) равен своему максимуму, т. е. f(z0) = М.

Применим формулу (44') к кругу с центром в точке z0, принадлежащему вместе со своей периферией области G; тогда получим:

-откуда Ьытекает:

то из неравенства (27) усматриваем, что f(z0^Re^) = M при любом 6. Действительно, если бы мы при некотором значении ф=ф0 имели

то вследствие непрерывности |/(z)| неравенство | /(z0 -j-Rei]f) | M осуществлялось бы в некотором достаточно малом промежутке

вне же этого промежутка всё время

При таких условиях правая часть неравенства (27) была бы меньше, чем М, в то время как левая равна М, чего быть не может.

Итак, мы показали, что f(z) = M на всякой достаточно малой окружности с центром в точке z0 или, что то же, в достаточно малой окрестности точки zQ. Покажем теперь, что | f(z) | = М всюду в области О. С этой целью соединим точку z0 с произвольной точкой zt области G непрерывной линией L, лежащей в области G. Обозначим через d(d^> 0) расстояние линии L до границы области О, т. е. минимум всевозможных расстояний между двумя точками, из которых одна принадлежит линии L, а другая — границе области G.

Очевидно, круг с центром в любой точке линии L радиуса ~ целиком лежит в области G. Вследствие доказанного равенство | f(z) |=М имеет место всюду внутри круга с центром в точке z0 радиуса ^ .

Заставляя центр круга радиуса ~ непрерывно двигаться по линии L

от точки z0 до точки zlt мы видим, что равенство f(z) = М должно выполняться всё время внутри круга, каково бы ни было положение этого движущегося круга. Следовательно, в частности имеем: f(zi) = M. Так как zt—любая точка области G, то мы доказали справедливость равенства | f(z) | = М всюду в области G. Отсюда же легко вывести, что f(z) есть постоянное число.

В самом деле, функция In f(z) имеет постоянную действительную часть, так как действительная часть логарифма равна логарифму модуля. Вследствие условий Коши-Римана (гл. II, § 4, п. 4) голоморфная функция Inf(z) с постоянной действительной частью есть постоянное число, а значит, и f(z) есть постоянное число в области G, что невозможно.

Из доказанного принципа вытекает: если f (z) есть функция, голоморфная в области G и непрерывная в замкнутой области G, то максимальное значение её модуля необходимо достигается на границе области G при условии, что f(z) не есть постоянное число. В самом деле, функция f(z), будучи непрерывной в замкнутой области G, в силу известной теоремы классического анализа, принимает своё максимальное значение М в некоторой точке z0 этой области. В силу доказанного точка zQ не может лежать в области G, следовательно, она расположена на границе области G.

Дадим ещё другое доказательство основной теоремы этого пункта. Допустив, что модуль функции f(z), голоморфной в области G, достигает своего максимума во внутренней точке а этой области, мы можем, очевидно, считать, что f(a) = a0 Ф О, так как иначе f(z) тождественно равнялась бы нулю. Пусть в некоторой окрестности точки а

где ак Ф 0. Выберем число Ь настолько малым, чтобы круг | z—а | лежал внутри области G и чтобы в нём выполнялось неравенство:

Обозначая, далее, одно из значений агg^-° через <р (например, значение, удовлетворяющее неравенству O^arg—<^2я), положим /—

г = С s a -f- be k. Тогда будем иметь: и, следовательно,

Итак,

что противоречит сделанному допущению. Таким образом, модуль голоморфной функции не может достигать максимума внутри области, где функция голоморфна.

Рассуждая, как и в начале этого пункта, и пользуясь формулой (84') гл. IV, § 3, п. 9, читатель легко покажет, что функция гармоническая в некоторой области не может достигать во внутренних точках ни максимума, ни минимума (если она отлична от постоянной). Отсюда, в частности, следует, что функция, непрерывная в замкнутой области, гармоническая внутри и сохраняющая постоянное значение на границе, должна быть постоянной во всей области, ибо её максимум и минимум, принимаемые на границе, совпадают.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >