Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Посмотреть оригинал

Разложение Лорана в окрестности бесконечно удалённой точки.

Чтобы получить разложение Лорана для функции f(z) в окрестности бесконечно удалённой точки, напишем соответствующее разложение для функции v(z') в окрестности нулевой точки:

и, полагая будем иметь на основании (2э;:

где положено: сп = Ь _п (;г = 0, -4-1. -Ь2....).

Заметим, что разложение (27) будет содержать бесконечное множество положительных степеней z, конечное число этих степеней или совсем их не будет содержать в зависимости от того, будет ли разложение (26) содержать бесконечное множество отрицатель- них степеней z конечное число этих степеней или совсем их не будет содержать. Отсюда, в силу § 2, п. 1, мы заключаем, что бесконечно удалённая точка является для функции f(z):

  • а) существенно особой точкой, если разложение (27) содержит бесконечное множество положительных степеней г;
  • б) полюсом порядка т, если в разложение (27) входит конечное число положительных степеней г, причём ст есть последний при них коэффициент, отличный от нуля (//г^г1);
  • в) устранимой особой точкой, если в разложении (27) совсем нет положительных степеней z.

В этом последнем случае, принимая ?0 за значение функции / (г) в бесконечно удалённой точке, мы уничтожаем эту особенность, так как y(z') будет при этом голоморфной функцией в нулевой точке. Поэтому в случае в), если /(оо):=с(„ говорят, что / (z) есть голоморфная функция в бесконечно удалённой точке.

Примеры

1. Функция }{z)— имеет в бесконечности устранимую особую точку, так как при z> имеем:

Приняв /(оо) = 0, м& можем сказать, что функция f(z) имеет в бесконечности нуль первого порядка.

  • 2. Целая рациональная функция степени т имеет бесконечно удалённую точку полюсом порядка т.
  • 3. Функции ez, sin z, cos z имеют в бесконечности существенно особую гччку.
 
Посмотреть оригинал
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы