Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Посмотреть оригинал

Обтекание круглого цилиндра потоком без циркуляции.

Рассмотрим движение в покоящейся жидкости круглого цилиндра, который движется справа налево с постоянной скоростью а. Придавая всей системе движение в обратную сторону со скоростью л, мы получаем поток жидкости, имеющий в бесконечности скорость д, обтекающий неподвижный цилиндр.

Помещая начало координат в центр поперечного сечения цилиндра, примем это сечение за плоскость ху, выбрав положительное направление оси х совпадающим с направлением скорости а. Характеристическую функцию потока w=f(z) мы предположим однозначной в области | z | > R, внешней к сечению цилиндра.

Согласно теореме Лорана

Очевидно, мы должны удовлетворить, двум условиям: а) вектор скорости жидкости при г= оо направлен по оси х и равен а б) контур цилиндра I z | = R есть часть траектории потока.

. . dw

Мы знаем, что скорость p--iq = —, г. е.

Так как бесконечно удалённая точка должна быть правильной точкой этого разложения, которое в этой точке принимает значение а, го имеем ая = 0 при п > 1, ai = a.

Следовательно, условие а) приводит к такому виду характеристической функции: где мы отбросили свободный член Ь0, так как его прибавление к zv не влияет на величины компонент скорости р, q и на траекторию потока.

Полагая Ьп-=. рпе*п*, z = refd, получим:

откуда находим:

Второе условие б) нам дает, что v должно сохранять постоянное значение при r = Rt т. е.

Дифференцируя вторую из формул (38) по 0 и подставляя затем r = R, получим:

Заметив, что

приравниваем нулю коэффициенты при отдельных cosnO и sin лО и, таким образом, получаем:

откуда рп = 0(л = 2, 3, ...), р1= +д/?2, ^=0. Следовательно, окончательный вид характеристической функции w будет:

Функции же и н v выразятся формулами:

Траектории потока имеют уравнение:

#

Так как r^sR, то при С> 0 имеем sin б > 0, т. е. траектории расположены в верхней полуплоскости; отрицательным же значениям С соответствуют траемор in, идущие в нижней полуплоскости (фиг. 87). Для С = 0 имеем линию

которая распадается на две: sin 0 = 0, r = R, т. е. соответствующая траектория идет справа по положительной части оси дг(0 = 0) до встречи с цилиндром в точке r = R, 0=0, затем по окружности цилиндра, переходя в точке r = R, 0 = * снова на ось х, но на отрицательную ее часть (0 = л).

Точки (цг/?, 0) замечательны тем, что в них скорость обращается в нуль, так как

Фиг. 87.

Эти точки носят название критических точек потока. Траектория в критических точках не имеет определённой касательной и разветвляется на две: прямую и окружность.

Для С Ф 0 траекториями течения будут линии третьего порядка, и их уравнение в декартовых координатах имеет вид:

Каждая из этих линий симметрична относительно оси у и имеет асимптоту v — С.

Потенциальная функция потока и является однозначной не только во всякой од нос ья зной области, занятой потоком, что обусловлено отсутствием вихрей, но и во всей области |г|>/?. Эго последнее обстоятельство показывает, что циркуляция потока вдоль контура С, окружающего цилиндр, есть нуль, так как

Поэтому рассмотренный поток называют потоком без циркуляции.

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы