Общая теорема Пикара

Пользуясь предложением Шоттки, мы в состоянии доказать общую теорему Пикара, формулированную *в начале этой главы. Таким образом, теперь должно быть доказано, что функция f(z), голоморфная в некоторой окрестности существенно особой точки, может выпускать в ней не болеъ как одно конечное значение. Допуская противное, мы примем, что f(z) выпускает два конечных значенья, за которые можно считать 0 и 1. Путём линейного преобразования независимого переменного мы можем достигнуть того, что существенно особая точка будет бесконечно удалённой точкой, а

функция / Сz) будет голоморфной и отличной от нуля и единицы при I z | ^ i..

На основании теоремы Вейерштрасса (гл. VI, § 2, п. 5), углублением которой и является доказываемое предложение, возможно задать бесконечную последовательность точек _п> сходящуюся к бесконечно удалённой точке lim )_л=оо, так, чтобы имело место неравенство:

п -* 00

каково бы ни было п.

Функции f_n(z)=: f(_nz) для больших значений л голоморфны в области , причем ^-<|/„(1) |< 1.

Прилагая теорему Шоттки (§ 3, п. 2) к кругу с центром в точке г=1 радиуса , мы видим, что эти функции в круге с центром z= 1 радиуса

-i по модулю заключены между двумя абсолю.'ными постоянными. Отправляясь , 1

от круга с центромz= 1 радиуса— , возможно построить цепь из конечного числа кругов радиуса ^ с центрами на окружности | г! — так, чтобы центр каждого следующего круга лежал внутри предыдущего круга, к так, чтобы они в своей совокупности покрывали окружность z|=l. Последовательное многократное приложение обобщенной теоремы Шоттки к кругам радиуса

i-, концентрическим с звеньями цепи, нам показывает, что в области, выметаемой кругами радиуса ?—, все функции /_я (z) по модулю заключены между

двумя постоянными числами. В частности, эти функции на окружности |z| = = 1 ограничены по модулю. Это утверждение равносильно тому, что функция f{z) на всех окружностях |z| = |X„| имеет модуль, меньший постоянного числа. Так как функция, голоморфная в кольце, включая и его границу, достигает максимума своего модуля на границе, то I/(z)| в области z^s

меньше этого же постоянного числа. Это является противоречием с

теоремой Вейершграсса, что и доказывает справедливость общей теоремы Пикара.

Прилагая доказанное к функции /( —)(о<1), мы видим, что /(z) в

⁰ /

области |z|^5~ принимает все конечные значения, за исключением, быть Jo

может, одного. Но так как функция f(z) обладает этим свойством в каждой области |z|$s^>, го она принимает все конечные значения, кроме исключительного, бесконечное число раз.

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ VIII

• 1. Целая функция, которая каждое значение принимает только один раз, есть целая линейная функция.
• 2. Функция, обратная целой функции, не может быть целой функцией, кроме случая линейной функции.
• 3. Доказать теорему Лиувилля, пользуясь интегральной формулой Коши.
• 4. Существуют ли целые трансцендентные функции, которые на каждом луче, выходящем из нулевой точки, по модулю стремятся к-f-oo?

Ото. Да; пример: е* + г.

• 5. Показать справедливость теоремы Пикара для функции е*, т. е. определить корни уравнения е^г = А, ЛфО.
• 6. Какое исключительное значение имеет функция e^z--?
• 7. Показать, что ch z и sh z принимают все значения.
• 8. Проверить теорему Пикара для функции е'^г вблизи z = 0.