Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Посмотреть оригинал

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Общие свойства эллиптических функций

Определение эллиптической функции.

Эллиптической функцией называется мероморфная функция, допускающая периоды, которое все могут быть образованы посредством сложения и вычитания из двух первоначальных периодов 2(0 и 2(о имеющих мнимое отношение

Короче говоря, мероморфная функция называется эллиптической, если она двоякопериодическая с периодами 2о> и 2а/, отношение которых т есть мнимое число. Такая функция f(z) удовлетворяет соотношениям

откуда вытекает, что

где тип обозначают любые целые числа, положительные, отрицательные или нули.

Одна из наших задач будет заключаться в том, чтобы построить посредством того или иного аналитического аппарата элементы, с помощью которых можно выразить в конечном виде все эллиптические функции. Иными словами, мы ставим проблему дать аналитическое представление любой эллиптической функции, отправляясь от выше- формулированного её дескриптивного определения. Для рациональных функций мы имеем два аналитических представления. В основе первого из них лежит задание полюсов рациональной функции и соответствующих им главных частей, что приводит нас к разложению рациональной функции на простейшие дроби. В основе второго аналитического представления рациональной функции лежит задание её нулей и полюсов, что даёт нам возможность представить её в виде отношения произведений линейных множителей.

Аналогично при решении вышеупомянутой задачи для эллиптической функции мы установим две формулы, из которых одна будет давать её разложение на сумму простейших элементов, с явным выделением её полюсов и их главных частей, а другая будет представлять эллиптическую функцию посредством отношения произведений элементарных множителей с явным выделением её нулей и полюсов. Прежде чем приступить к осуществлению этой задачи, мы установим ряд общих свойств эллиптической функции.

'Замечание. При определении эллиптической функции мы предпола- <•>' -

гали отношение ?= — ее первоначальных периодов мнимым числом.

Можно было бы доказать, что если это отношение есть число действительное, то функция является просто периодической или приводится к постоянному. Кроме того, во всем дальнейшем мы будем считать коэффициент „ <•>'

при мнимои части отношения т= — положительным, так как этого мы всегдаг

можем достигнуть путём изменения знака у одного из первоначальных периодов.

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы