Простейшие аналитические представления произвольной эллиптической функции

Представление эллиптической функции в виде суммы простейших элементов.

Пусть / (z) есть эллиптическая функция порядка s с простыми полюсами jjt, $s, лежащими в параллелограме

периодов. Обозначая через Bk вычет функции относительно полюса

мы имеем, что 2 ?л = 0 (§ 1»п. 3, теорема 3).

^=1

Образуем теперь выражение

В силу свойства функции ч, выражаемого соотношениями (27), мы находим:

S

Так как 2 ?* = 0» то последние формулы примут вид:

k~i

Таким образом, F(z) есть эллиптическая функция с основными периодами 2(0 и 2а/. С другой стороны, легко видеть, что функция F(z) имеет в точках простые полюсы с вычетами Bk. Следовательно, данная эллиптическая функция f(z) может отличаться от F(z) лишь постоянным слагаемым (§ 1, п. 3), т. е.

где постоянное С определяется по значению функции f(z) в точке, не совпадающей с её полюсом.

Из вывода мы усматриваем, что, обратно, всякое выражение вида (33), в котором — любые 5 различных точек в параллелограме перио-

S

дов, a Bk — любые 5 чисел, подчинённые условию 2 ?* = 0, всегда

k—1

изображает эллиптическую функцию порядка s с простыми полюсами jij, ^о, .. •, и соответственными главными частями:

Обобщим теперь формулу (33) на случай кратных полюсов. Пусть /(-га) есть эллиптическая функция порядка s с полюсами ($, . К IV

лежащими в параллелограме периодов. Обозначим через

главную часть нашей функции относительно полюса порядок которого есть sk, (sx + s2 + ...+ sq = s).

Образуем теперь выражение:

ч

Так как 2 ?*i=0> то из предыдущего анализа, принимая во

Ar = 1

внимание периодичность функции и её производных, вытекает, что F(z) есть эллиптическая функция с периодами 2ш и 2а/. С другой стороны, из выражения функции F(z) мы усматриваем, что в точках она имеет полюсы порядков sk с главными частями (34). Следовательно, данная эллиптическая функция /(z) может отличаться от F(z) лишь на постоянное слагаемое (§ 1, п. 3), т. е.

где постоянное С определяется по значению функции /(z) в точке, не совпадающей с её полюсом.

Обратно, всякое выражение вида (35) всегда изображает эллиптическую функцию порядка s с полюсами в точках и соответствующими главными частями (34), если постоянные ВкХ подчинены условию я

2 Ви = 0, а — любые q точек параллелограма периодов.

к — 1

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >