Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Посмотреть оригинал

Функции ak

В § 2, п. 2 мы вывели формулу (25), представляющую ^'2(z) в виде произведения трёх множителей. Согласно этой формуле, произведение, стоящее в правой части, является квадратом однозначной аналитической функции. Оказывается, то же самое можно утверждать относительно каждого из трёх множителей ф (г)ek (?=1, 2,3). Чтобы в этом убедиться, положим сначала в формуле (38) м ==<*>; тогда получим:

В силу формулы (32) мы можем написать: т. е.

Заметив это, перепишем (39) в виде:

Полагая в формуле (38) «= со —f-со' и и=:<о'и поступая аналогично, мы представим две другие разности также в виде квадрата частного двух целых функций. Таким образом, будем иметь:

или

где положено:

Уравнения (41') определяют три квадратных радикала, как однозначные функции z. Отметим некоторые свойства функций зЛ(2г),

Все три функции зк[г), очевидно, целые и, полагая z — 0 в формулах (42), найдём:

Заменяя в формуле (40) z на — z и пользуясь нечётностью функции з(зг), перепишем (40) в виде

а значит,

и то же самое для функций a2(z) и o3(z), т. е. функции ak(z) суть чётные. Изменяя z, w, w на kz> Aw, Aw' и пользуясь свойствами однородности a(z; 2w, 2w) и 7j (2w, 2w), мы заключаем: функции ak (z; 2w, 2w ) однородны относительно z, w, w' измерения 0.

Подставляя выражение (41) в формулу (25) и извлекая квадратный корень, будем иметь:

Остаётся лишь определить знак в последней формуле. Для этого, помножив обе части этой формулы на г3, заставим затем г стремиться к нулю. Так как

то отсюда мы заключаем, что в предыдущей формуле следует брать знак —, т. е.

Наконец, посмотрим, как изменяются функции ал (z) при прибавлении к аргументу периода. Чтобы придать выводимым формулам однообразный вид, введем следующие обозначения:

и соответственно.

Тогда формулы (42) в этих обозначениях будут:

Формулы же (32) примут вид:

Отправляясь от формулы (44), используя (32') и тождество Лежандра (31), легко найдём:

и

* I 1 _ . • ?

Как следствие формул (32'), (45) и (46) мы получаем: и

где /г, h и / могут принимать значения 1, 2, 3, различные между собою.

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
     

    Популярные страницы