Формулы сложения для эллиптических функций Якоби

Считая v произвольным параметром, рассмотрим три функции переменного и:

Из таблицы (104) мы усматриваем, что все эти функции имеют периоды 2и> Уе[6$ и 2(of"]/"е$. Эллиптическая функция f(u) имеет простые полюсы в тех точках, где sn и или sn(a4-t>) имеют таковые.

Из таблицы § 5, дающей полюсы sn и, мы видим, что это будут точки, аффиксы которых отличаются от о/ Уех — е3 или — v -f- <о' У е3 на периоды, т. е. на числа вида

где т, п — любые целые числа. Следовательно, в основном параллелограме периодов, построенном на векторах 2ех —ег и 2и'У‘е1 — е8, таких точек будет только две. То же заключение справедливо и в отношении функций h(u) и /з(и)* Таким образом, наши три функции fk(u) суть эллиптические функции второго порядка с одинаковыми периодами и с двумя одинаковыми простыми полюсами в па раллелограме периодов.

Очевидно, возможно подобрать постоянные А и В так, чтобы две функции

не имели полюса и = ю'У ехes. При таком выборе постоянных А и В две функции Fl (и) и Fo(a) будут эллиптическими первого порядка, т. е. константами. Итак, при определённом выборе постоянных А и В имеют место соотношения:

где А, В,. С, D, будучи постоянными относительно и, зависят or v. Чтобы определить эти постоянные, положим в формулах (105) « = 0, тогда найдём:

Дифференцируя соотношения (105) по и и полагая затем и = 0, будем иметь в силу (53) и (54):

откуда, вследствие (54),

Подставляя найденные величины постоянных в соотношения (105), перепишем их в виде:

Эти соотношения представляют собой тождества относительно и и а. Заменяя и на — и и v на и-j-v, получим из них

Из последних двух тождеств найдём сп(и-Ь») и 3n(« + i/), что и даст нам формулы сложения функций Якоби сп и Sn. Внося значение cn(a-J-t/) в первое из равенств (106), найдём sn(a-f-t>>, т. е. формулу сложения sn.

Итак, в результате указанных элементарных вычислений, будем иметь:

Известно, что sn и можно рассматривать как обращение эллиптического- интеграла первого рода, откуда мм усматриваем, что при ? = 0 функция sn ц, вырождается в sin u. С другой стороны, из формул (50) мы видим, что при А» = 0 функции сп и и 8п и обращаются соответственно в cosh и 1. Таким образом, если в формулах (107) принять ? = 0, то первые два из этих равенств будут выражать известные теоремы сложения для sin и cos, а последнее обратится в тождество 1 = 1, что объясняется отсутствием для 8п и аналога среди тригонометрических функций.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >