Приложение леммы Шварца к оценке производной функции, удовлетворяющей условиям леммы.

Рассмотрим максимум модуля функции ?—

на окружности |z| = r, предполагая, что не есть постоянное. Обозначим

этот максимум через q (г), тогда ^^(г)< 1, потому что согласно лемме-

Шварца |^^|< 1. Функция q(r) возрастает вместе с г, потому что, будучи

неубывающей функцией, она могла бы сохранять постоянное значение в силу

f(z)

принципа максимального модуля только в том случае, когда -— есть постоянное, что исключается.

Заставляя г стремиться к нулю, из равенства -^|г^^(г)< 1, получаем:

потому что q (r) (q (г)< 1) убывает с убыванием г. Если, наконец, есть постоянное я, то по лемме Шварца |д|^1, и, очевидно, имеем в этом случае:

т. е. |/' (0)|^1, причём знак равенства имеет место только в том случае,, если а ~ e*i, т. е. / (г) — е^г. Итак, при условиях леммы Шварца всегда имеет место неравенство:

причём знак равенства будет лишь в том случае, когда f(z)-=e*i z.

Если начало координат есть нуль функции f{z) кратности ), то, применяя

. / (z)

предыдущие рассуждения к функции — , получим:

причём знак равенства будет лишь в том случае, когда /(z) = zK

Резюмируя, мы можем сказать, что для функции, удовлетворяющей условиям леммы Шварца, первый не нулевой коэффициент сё разложения в "степенной ряд по модулю нс превосходит единицы, причём ом по модулю равен единице лишь в том случае, когда это разложение приводится к своему первому члену.

Чтобы найти оценку для f'{z) в любой точке z₀ (| z₀1 < 1), выполним два линейных преобразования плоскостей z и w — f(z), сохраняющих единичный круг и переводящих точки г₀ и w₀ — f(z₀) соответственно в начало координат:

Прилагая лемму Шварца к функции <о=г<р(С), находим:

или

откуда следует:

Заметив, что |/(г)/{г₀) < 1 и, значит, |/(г)/(г₀) — 1 I < 2, находим из неравенства (30):

или, полагая |z|=r, | zo I = г₀, получаем:

Заставляя г стремиться к z₀, находим из (31):

Однако, можно получить лучшую оценку для |/'Uo)l» если отправляться от неравенства (30). Действительно, замечая, что вторая часть неравенства (30) при z -*• z₀ стремится к значению

мм найдём:

Неравенства (31) и (32) были с успехом использованы Каратеодорн (Сага- thcodorv) в проблеме конформного изображения.