Приложение леммы Шварца к оценке производной функции, удовлетворяющей условиям леммы.
Рассмотрим максимум модуля функции ?—
на окружности |z| = r, предполагая, что не есть постоянное. Обозначим
этот максимум через q (г), тогда ^^(г)< 1, потому что согласно лемме-
Шварца |^^|< 1. Функция q(r) возрастает вместе с г, потому что, будучи
неубывающей функцией, она могла бы сохранять постоянное значение в силу
f(z)
принципа максимального модуля только в том случае, когда -— есть постоянное, что исключается.
Заставляя г стремиться к нулю, из
равенства -^|г^^(г)< 1, получаем:
потому что q (r) (q (г)< 1) убывает с убыванием г. Если, наконец, есть постоянное я, то по лемме Шварца |д|^1, и, очевидно, имеем в этом случае:
т. е. |/' (0)|^1, причём знак равенства имеет место только в том случае,, если а ~ e*i, т. е. / (г) — е^г. Итак, при условиях леммы Шварца всегда имеет место неравенство:
причём знак равенства будет лишь в том случае, когда f(z)-=e*i z.
Если начало координат есть нуль функции f{z) кратности ), то, применяя
. / (z)
предыдущие рассуждения к функции — , получим:

причём знак равенства будет лишь в том случае, когда /(z) = zK
Резюмируя, мы можем сказать, что для функции, удовлетворяющей условиям леммы Шварца, первый не нулевой коэффициент сё разложения в "степенной ряд по модулю нс превосходит единицы, причём ом по модулю равен единице лишь в том случае, когда это разложение приводится к своему первому члену.
Чтобы найти оценку для f'{z) в любой точке z0 (| z01 < 1), выполним два линейных преобразования плоскостей z и w — f(z), сохраняющих единичный круг и переводящих точки г0 и w0 — f(z0) соответственно в начало координат:
Прилагая лемму Шварца к функции <о=г<р(С), находим:
или
откуда следует:


Заметив, что |/(г)/{г0) < 1 и, значит, |/(г)/(г0) — 1 I < 2, находим из неравенства (30):

или, полагая |z|=r, | zo I = г0, получаем:
Заставляя г стремиться к z0, находим из (31):
Однако, можно получить лучшую оценку для |/'Uo)l» если отправляться от неравенства (30). Действительно, замечая, что вторая часть неравенства (30) при z -*• z0 стремится к значению
мм найдём:
Неравенства (31) и (32) были с успехом использованы Каратеодорн (Сага- thcodorv) в проблеме конформного изображения.