Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Посмотреть оригинал

Конформные отображения на верхнюю полуплоскость областей, ограниченных линиями второго порядка

Равносторонняя гипербола.

Пользуясь принципом симметрии, мы рассмотрим отображение областей, ограниченных линиями второго порядка, на верхнюю полуплоскость. Естественно ожидать, что для этого нам придется рассматривать многочлен второй степени.

Рассмотрим сначала функцию

причём совершенно очевидно, что z как функция w есть функция двузначная и что её точками разветвления будут 0 и оо (гл. III, § 3, п. 1). Введём действительные переменные, положив

и, следовательно:

Из соотношений (37') сейчас же вытекает, что если возьмём прямую и = с

(фиг. 113а), то на плоскости z (фиг. 1136) этой прямой будет соответствовать равносторонняя гипербола, уравнение которой есть:

Прямым v = c будут соответствовать также гиперболы, имеющие асимптотами оси координат и пересекающиеся с предыдущими гиперболами под прямыми углами (ибо при конформном отображении углы сохраняются) (фиг. 1136).

Две прямые и = с, которые лежат в двух разных листах, преобразуются в две ветви гиперболы, имеющие общей точкой с». То же самое можно сказать и относительно прямых v = c. .

Фиг. 1135.

Отсюда уже нетрудно видеть, что мы можем отобразить взаимно однозначно и конформно с помощью функции w = z2 внутренность одной ветви равносторонней гиперболы на верхнюю полуплоскость. В самом деле, возьмём внутренность правой ветви равносторонней

Фиг. 113э.

Фиг. 114.

гиперболы, имеющей осью действительную ось Ох (фиг. 114). Как мы уже видели, этой ветви гиперболы соответствует прямая и —с. Спрашивается: какая полуплоскость, имеющая границей и = с, будет соответствовать рассматриваемой внутренности гиперболы? Очевидно, та, которая не содержит начала координат, потому что его не содержит рассматриваемая внутренность гиперболы. Кроме того, рассматриваемые области не содержат критических точек, поэтому отображение будет взаимно однозначным и конформным. Если взять внутренность левой ветви гиперболы, то она с помощью функции w = z2 отобразится взаимно однозначно и конформно на ту же полуплоскость, что и внутренность правой ветви. ^ Нашу полуплоскость с помощью линейной функции можно преобразовать в верхнюю полуплоскость. Итак, можно отобразить внутренность какой-либо ветви равносторонней гиперболы на верхнюю полуплоскость.

Что касается отображения внешней области гиперболы на верхнюю полуплоскость, то заметим пока, что функция w=z* не даёт возможности его выполнить взаимно однозначным и конформным образом, ибо в точке О консерватизм углов нарушается.

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы