Предложение, носящее название внешней теоремы площадей, заключается в следующем: если
есть функция, однолистная в области | Г | > 1 и голоморфная всюду в этой области, за исключением бесконечно удалённой точки, где она имеет простой полюс, то
Эго предложение называют теоремой площадей, потому что оно представляет аналитическое выражение для следующего очев-идного геометрического факта.
Однолистное отображение внешней части единичного круга |С|>1, выполняемого помощью функции 'да=<р (С), оставляет непокрытым множество точек плоскости а/, площадь которого больше или равна нулю.
Из этого геометричёского пояснения немедленно вытекает способ доказательства.
Проще всего провести доказательство так: окружность |?|=г, г>1 отображается в замкнутую правильную аналитическую кривую, уравнение которой будет w = w (б) = <р {геП), если положить С = /Л
Вычислим площадь А конечной области, ограниченной этой кривой, полагая w = u-- iv:
Производя вычисления и замечая, что в результате интегрирования пропадут все члены, которые содержат е** в целой степени, отличной от нулевой.
получим:
Очевидно из геометрических соображений, что А > 0, т. е.
со
Поступая, как в п. 1, мы убедимся, что ряд 2 Пап2 сходится, и перехо-
л=1
дом к пределу при г -*? 1 из неравенства (6) найдём:
