Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Посмотреть оригинал

Границы для модуля однолистной функции.

Заметив, что | /(-гг) / =

z

= I ^ j'(z)dz, где интегрирование совершается вдоль радиуса точки г, 1 о

получим:

Пользуясь второй частью неравенства (9), найдём:

Чтобы найти нижнюю границу, проведём через точку г окружность С с центром в точке 0 и пусть Г — кривая, в которую функций / (z) преобразует эту окружность. Соединяя точку / (z) с точкой /(0) = 0 отрезком прямой, отметим ближайшую к началу координат точку пересечения отрезка с Г. Если Z — соответствующая точка С, то аффикс найденной точки будет f(zx). Обозначая через t = t(s) уравнение кривой, соединяющей точки 0 и zlf которую функция f(z) преобразует в радиус-вектор точки f(zx)t получим:

где интегрирование производится вдоль кривой t = t(s). В силу неравенства (9>

'^Цттш)5следовательно'

Заметив, что zx = zt получим:

Объединяя оба неравенства (12) и (13), окончательный результат запишем так:

Установленные границы для |/(z)| наилучшие, потому что они достигаются функцией (1_f^)2'.

Левая часть неравенства (14) содержит известный уже из п. 4 результат о положении граничных точек, так как при 1 z | -* 1 нижняя граница f(z) стремится к Правая часть неравенства (14) ограничивает рост функции, голоморфной и однолистной в единичном круге.

При приближении к окружности модуль функции может становиться бесконечно большим только как вторая степень обратной величины расстояния от окружности. Отсюда возможно заключить о справедливости следующего общего предложения: пусть Dпроизвольная однолистная область, содержащая точку z = 0, и / (г) — голоморфная функция в области D, которая отображает однолистно область D. Пусть, далее, Gпроизвольное замкнутое множество точек, принадлежащее области D: тогда существует число М, зависящее только от D и G. но не зависящее от f{z)p такое, что всюду на G будет

Для доказательства заметим, что

есть функция, голоморфная и однолистная в D.

Для достаточно малого круга с центром z=^0 возможно использовать неравенство (14), именно, если круг |z и, значит,

Теперь, поступая <ан же, как при аналитическом продолжении, покроем данное множество цепью из конечного числа кругов, отправляясь от круга с центром z = 0. Во втором круге цепи, центр которого г0 принадлежит первому кругу, имеем:

и, значит,

Так как то получаем*

Сравнивая неравенства (15) и (16), мы видим что одновременно в обоих кругах цепи имеет место неравенство (16). Продолжая этот процесс далее, мы убеждаемся в справедливости неравенства

на всей системе кругов цепи, г. е. и подавно на множестве точек G, причём -число М не зависит от вида функции f(z).

 
Посмотреть оригинал
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы