Общая граница для модулей действительных коэффициентов в разложении однолистной функции.

Результат, упомянутый в конце и. 8, может быть установлен при помощи следующей леммы: если /(*)= 1 --b-- ?+? -f" .. • •+? Ь_пг>* -4-... голоморфна в единичном круге | z | < 1 и удовле

творяет условию Rf{z)^0, то 1&_я|^2, при любом п = 1,2, ... В самом деле, условие Rf (z) ^ 0 эквивалентно неравенству / f{z) — 11 ^ I /(*) +11, из которого следует, что функция

голоморфна в единичном круге j ^ | < 1 и удовлетворяет условию g{z)-^l.

Следовательно, имеем: | ^ J = | д' (0) | 1, т. е. | Ъ_х | ^ 2. Обозначая теперь

через <о_А., k—_t 2, ...,/i все корни л-ой степени из единицы, будем иметь п

R f — ? fi^kZ ^1/л)) ^0, а значит, функция ' Л=1

удовлетворяет всем условиям леммы. В силу доказанного |/>_я|з^2, причём это неравенство справедливо при любом п= 1, 2, ...

Пусть теперь /(z) = г -f- a*z² -f-... голоморфна и однолистна в единичном круге U|< 1, и все коэффициенты а_п действительные числа.

Вследствие однолистности функции f (z) выражение

при любых точках z_y и z₂ из единичного круга |2|<1. Отсюда следует, * частности, при z = г**?, z₂ = re-*?, г<1, что выражение F(r, ^р) = 1 +

• 00
• -h V^{4 g}/^B~¹~^nny> будучи действительным, отлично от нуля, т. е. сохра- п=2 7

няст знак при г<1 и любых значениях ©. Следовательно, выражение 2ein² ? *F{r_y ?) = 1 -{-eycos? + (яз^г2~“ 1) cos 2<р + (а₄г‘^г — а₂) г cos Зу -f-... +

+ (я_пг² — а_п-₂) г*-⁸ cos (я — 1) ? 4“ -.. также сохраняет знак, а так как при г = 0 оно равно 1, то знак его будет положительный. Заметив это, заключаем, что функция

F(z)=]-+-a₁rz+(i—)z*--{a_ir-—a2) rz³-К. .+(«_п^г2— ^ап-2) r&#zⁿ~^x +... голоморфна в единичном круге | z | ^ 1 и на окружности | z [ = 1 удовлетворяет условию RF(z)^0. По принципу минимума гармонических функций неравенство /?F(z)2>0 должно иметь место также и внутри круга |г|<1 Вследствие леммы, заключаем о справедливости неравенств

<илн, переходя к пределу при г-*- 1,

Отсюда по индукции следует, что при любом п будет |д_п|^я.