Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Посмотреть оригинал

Общая граница для модулей действительных коэффициентов в разложении однолистной функции.

Результат, упомянутый в конце и. 8, может быть установлен при помощи следующей леммы: если /(*)= 1 --b-- ?+? -f" .. • •+? Ьпг>* -4-... голоморфна в единичном круге | z | < 1 и удовле

творяет условию Rf{z)^0, то 1&я|^2, при любом п = 1,2, ... В самом деле, условие Rf (z) ^ 0 эквивалентно неравенству / f{z) — 11 ^ I /(*) +11, из которого следует, что функция

голоморфна в единичном круге j ^ | < 1 и удовлетворяет условию g{z)-^l.

Следовательно, имеем: | ^ J = | д' (0) | 1, т. е. | Ъх | ^ 2. Обозначая теперь

через <оА., k—t 2, ...,/i все корни л-ой степени из единицы, будем иметь п

R f — ? fi^kZ 1/л)) ^0, а значит, функция ' Л=1

удовлетворяет всем условиям леммы. В силу доказанного |/>я|з^2, причём это неравенство справедливо при любом п= 1, 2, ...

Пусть теперь /(z) = г -f- a*z2 -f-... голоморфна и однолистна в единичном круге U|< 1, и все коэффициенты ап действительные числа.

Вследствие однолистности функции f (z) выражение

при любых точках zy и z2 из единичного круга |2|<1. Отсюда следует, * частности, при z = г**?, z2 = re-*?, г<1, что выражение F(r, ^р) = 1 +

  • 00
  • -h V4 g/B~1~nny> будучи действительным, отлично от нуля, т. е. сохра- п=2 7

няст знак при г<1 и любых значениях ©. Следовательно, выражение 2ein2 ? *F{ry ?) = 1 -{-eycos? + (язг2~“ 1) cos 2<р + 4г‘г — а2) г cos Зу -f-... +

+ (япг2ап-2) г*-8 cos (я — 1) ? 4“ -.. также сохраняет знак, а так как при г = 0 оно равно 1, то знак его будет положительный. Заметив это, заключаем, что функция

F(z)=]-+-a1rz+(i—)z*--{air-—a2) rz3-К. .+(«пг2ап-2) r&#zn~x +... голоморфна в единичном круге | z | ^ 1 и на окружности | z [ = 1 удовлетворяет условию RF(z)^0. По принципу минимума гармонических функций неравенство /?F(z)2>0 должно иметь место также и внутри круга |г|<1 Вследствие леммы, заключаем о справедливости неравенств

<илн, переходя к пределу при г-*- 1,

Отсюда по индукции следует, что при любом п будет |дп|^я.

 
Посмотреть оригинал
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы