Общая граница для модулей действительных коэффициентов в разложении однолистной функции.
Результат, упомянутый в конце и. 8, может быть установлен при помощи следующей леммы: если /(*)= 1 --b-- ?+? -f" .. • •+? Ьпг>* -4-... голоморфна в единичном круге | z | < 1 и удовле
творяет условию Rf{z)^0, то 1&я|^2, при любом п = 1,2, ... В самом деле, условие Rf (z) ^ 0 эквивалентно неравенству / f{z) — 11 ^ I /(*) +11, из которого следует, что функция
голоморфна в единичном круге j ^ | < 1 и удовлетворяет условию g{z)-^l.
Следовательно, имеем: | ^ J = | д' (0) | 1, т. е. | Ъх | ^ 2. Обозначая теперь
через <оА., k—t 2, ...,/i все корни л-ой степени из единицы, будем иметь п
R f — ? fi^kZ 1/л)) ^0, а значит, функция ' Л=1
удовлетворяет всем условиям леммы. В силу доказанного |/>я|з^2, причём это неравенство справедливо при любом п= 1, 2, ...
Пусть теперь /(z) = г -f- a*z2 -f-... голоморфна и однолистна в единичном круге U|< 1, и все коэффициенты ап действительные числа.
Вследствие однолистности функции f (z) выражение
при любых точках zy и z2 из единичного круга |2|<1. Отсюда следует, * частности, при z = г**?, z2 = re-*?, г<1, что выражение F(r, ^р) = 1 +
- 00
- -h V4 g/B~1~nny> будучи действительным, отлично от нуля, т. е. сохра- п=2 7
няст знак при г<1 и любых значениях ©. Следовательно, выражение 2ein2 ? *F{ry ?) = 1 -{-eycos? + (язг2~“ 1) cos 2<р + (а4г‘г — а2) г cos Зу -f-... +
+ (япг2 — ап-2) г*-8 cos (я — 1) ? 4“ -.. также сохраняет знак, а так как при г = 0 оно равно 1, то знак его будет положительный. Заметив это, заключаем, что функция
F(z)=]-+-a1rz+(
<илн, переходя к пределу при г-*- 1,
Отсюда по индукции следует, что при любом п будет |дп|^я.