Первая экстремальная проблема.

Рассмотрим все функции X (Z), голоморфные в ограниченной односвязной области D, нормированные в точке z₀, т. е. удовлетворяющие условиям:

для этого класса ставится следующая задача: показать, что интеграл

имеет минимум для единственной функции X, и определить эту функцию.

Пусть w = f(z) выполняет, при условиях (29), взаимно однозначное и конформное отображение области D на круг Д: z < р, a z = ?(w) есть обратная функция. Так как

то

Полагая Л (ш) = X (? («>)] ^{и w} — ^relB> получим:

причём ^ не обращается в нуль, и потому различные ветви у^/2/^р однозначны. Выберем ветвь, равную единице при te; = 0; X[?(Z0)]—функция голоморфна» и при w = 0 имеет простой нуль. Следовательно, Л (ш) f^,2!^р (а/) голоморфна и при w = 0 имеет простой нуль. Положим

тогда будем иметь:

•откуда в силу леммы п. 1, каково бы ни было г < р,-получим:

Далее, чтобы вычислить Ф(0), заметим, что откуда

«, значит, Ф(1о) = 1т. е. Ф (0) = 1. Следовательно, из неравенства (30) найдём:

и, наконец,

Итак,

Если в последней формуле имеет место знак равенства, то это может Зыть только в том случае, когда в формуле (30) имеется знак равенства при всяком г, что. на основании леммы возможно лишь при

Это последнее условие означает, что 1_р достигает своей нижней границы. Условие Ф (а/) = 1 запишется так

или

принимая за f'(z)]^2,p однозначную ветвь функции, равную единице при z = z₀. Таким образом, мы показали, что /„ достигает своей нижней границы

• 2*
• ? рР+² только для функции

Р-- 2^Г

Кроме того, заметим, что среднее значение [a(z)J порядка р на области D есть:

откуда

[2 яр² П1 ip

(~р_[_2jd I ^{только мя} Функции f_p{z). Когда р неограниченно возрастает, то т_р стремится к р, a f_p(z) стремится к функции f(z).