Первая экстремальная проблема.
Рассмотрим все функции X (Z), голоморфные в ограниченной односвязной области D, нормированные в точке z0, т. е. удовлетворяющие условиям:
для этого класса ставится следующая задача: показать, что интеграл
имеет минимум для единственной функции X, и определить эту функцию.
Пусть w = f(z) выполняет, при условиях (29), взаимно однозначное и конформное отображение области D на круг Д: z < р, a z = ?(w) есть обратная функция. Так как
то
Полагая Л (ш) = X (? («>)] и w — relB> получим:
причём ^ не обращается в нуль, и потому различные ветви у/2/р однозначны. Выберем ветвь, равную единице при te; = 0; X[?(Z0)]—функция голоморфна» и при w = 0 имеет простой нуль. Следовательно, Л (ш) f,2!р (а/) голоморфна и при w = 0 имеет простой нуль. Положим
тогда будем иметь:
•откуда в силу леммы п. 1, каково бы ни было г
< р,-получим:
Далее, чтобы вычислить Ф(0), заметим, что
откуда
«, значит, Ф(1о) = 1т. е. Ф (0) = 1. Следовательно, из неравенства (30) найдём:
и, наконец,
Итак,
Если в последней формуле имеет место знак равенства, то это может Зыть только в том случае, когда в формуле (30) имеется знак равенства при всяком г, что. на основании леммы возможно лишь при
Это последнее условие означает, что 1р достигает своей нижней границы. Условие Ф (а/) = 1 запишется так
или
принимая за f'(z)]2,p однозначную ветвь функции, равную единице при z = z0. Таким образом, мы показали, что /„ достигает своей нижней границы
- 2*
- ? рР+2 только для функции
Р-- 2Г
Кроме того, заметим, что среднее значение [a(z)J порядка р на области D есть:
откуда
[2 яр2 П1 ip
(~р_[_2jd I только мя Функции fp{z). Когда р неограниченно возрастает, то тр стремится к р, a fp(z) стремится к функции f(z).
