Момент инерции тела относительно неподвижной оси вращении

Во вращательном движении в качестве меры инертности используется момент инерции (тело одной и той же массы при вращении относительно разных осей обладает разной инертностью, поэтому массой в качестве меры инертности вращающихся тел пользоваться нельзя).

Определение момента инерции

можно прочесть так: момент инерции тела относительно неподвижной оси z равен сумме произведений элементарных масс на квадрат расстояния от оси вращения до данной элементарной массы.

Момент инерции относительно неподвижной оси есть величина скалярная.

В СИ момент инерции измеряется в килограммах на метр в квадрате (кг-м2).

Из определения следует, что момент инерции - величина аддитивная, т. е. момент инерции системы из нескольких частиц равен сумме моментов инерции каждой из частиц.

На практике вычисление момента инерции производится путём интегрирования:

где dm - элементарная масса; dV - элементарный объём (объём, занимаемый элементарной массой); г - расстояние от элементарной массы до оси вращения; р - плотность тела в данной точке.

Вычисление этого интеграла в общем случае может быть довольно сложным, но если тело однородно, т.е. плотность тела во всех его точках одинакова, то плотность можно вынести за знак интеграла:

В качестве примера рассмотрим расчёт момента инерции однородного диска относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр.

Выделим в диске кольцо радиусом г и шириной dr.

Масса этого кольца dm = рdV= pblnrdr, где b - толщина диска. Тогда момент инерции диска

(здесь учтено, что pbnR—m - масса диска).

Ещё раз отмстим, что момент инерции одного и того же тела относительно разных осей различен (простейший пример: чем больше расстояние от материальной точки до оси вращения, тем больше её момент инерции).

Если этот же диск будет вращаться относительно оси, проходящей не через центр, то вычисление интеграла станет сложнее. Но в ряде случаев от необходимости интегрирования избавляет теорема Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси вращения равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно оси вращения, и про-изведения массы тела на квадрат расстояния

между осями: J = J0 + та2.

Например, момент инерции диска относительно оси z, перпендикулярной плоскости диска и проходящей на расстоянии R от центра масс

тела, равен, по теореме Штейнера, J = mR2 12 +

+ mR2 =3mR2 /2.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >