ДВИЖЕНИЯ ПЛОСКОСТИ И ИХ КОМПОЗИЦИИ

Учитывая, что многие задачи на построение решаются такими геометрическими преобразованиями как осевая симметрия, центральная симметрия, поворот, параллельный перенос, гомотетия, то следует хотя бы конспективно, сжато изложить теоретические основы этих преобразований. Это следует сделать еще и потому, что теория геометрических преобразований в школьном курсе геометрии сейчас почти не изучается, и это стало причиной тому, что учитель утратил значительную часть соответствующих знаний.

Дабы восполнить этот пробел, мы для того и предлагаем материал этой главы, причем, помня о целях нашей работы, применение каждого из геометрических преобразований к решению задач на построение будет проиллюстрировано на конкретных примерах.

Перемещения плоскости и их свойства

Определение 4.1. Перемещением плоскости называется такое ее преобразование, которое сохраняет расстояние между любыми двумя точками.

Перемещение плоскости обладает следующими свойствами:

  • • оно сохраняет отношение «лежать между» для любых трех точек А, В и С одной прямой;
  • • если точки А, В и С лежат на одной прямой, то в перемещении им соответствуют точки А', В' и С, которые также лежат на одной прямой;
  • • если точка С лежит между точками А и В и имеет место отноше- АС .

ние -^- = А, то этим точкам в перемещении соответствуют такие точки

А'С'

А'В'

А', В' и С' (А—> А', В —^ В/, С —^ СО, что имеет место отношение

  • • перемещение сохраняет параллельность прямых;
  • • перемещение сохраняет величину угла.

При изучении перемещений плоскости особую роль играют направленные углы.

Определение 4.2. Направленным называется угол, для которого указан порядок его сторон, т.е. указано, какую из сторон угла считать первой, а какую — второй.

На чертеже (рис. 4.1) направленный угол отмечается с помощью стрелки. Если переход от первой стороны угла ко второй осуществляется в направлении против часовой стрелки, то величина такого угла считается положительной. В таком случае говорят, что угол имеет положительную ориентацию.

Рис. 4.1

На рис. 4.1 угол а положительно ориентирован, угол (5 отрицательно ориентирован.

Ориентацию можно установить также для треугольников.

Определение 4.3. Треугольник называется ориентированным если указан порядок его вершин, т.е. сказано, какую из вершин считать первой, какую — второй и какую — третьей.

Определение 4.4. Треугольник положительно ориентирован, если обход вершин треугольника совершается в направлении против часовой стрелки.

На рис. 4.2 показаны положительно и отрицательно ориентированные треугольники: ДАВС — положительно ориентирован, ДCKD — отрицательно ориентирован.

Рис. 4.2

Теорема 4.1. Пусть А, В, Стри произвольные точки плоскости, не лежащие на одной прямой; А', В', Стри другие точки, такие что А'В' = АВ, В'С' = ВС, А'С = АС. Тогда существует единственное перемещение, которое переводит точки А, В, С соответственно в точки А', В', С'.

Теорему 4.1 можно сформулировать и так: перемещение плоскости однозначно определяется тремя парами соответствующих точек.

Заметим, что треугольники АВС и А'В'С', задающие некоторое перемещение, могут быть ориентированы одинаково или противоположно. В зависимости от этого различают перемещения плоскости I рода и перемещения плоскости II рода.

Определение 4.5. Перемещение плоскости, заданное двумя треугольниками АВС и А'В'С', называется перемещением I рода, если эти треугольники ориентированы одинаково.

Определение 4.6. Перемещение плоскости, заданное двумя треугольниками АВС и А'В'С', называется перемещением II рода, если эти треугольники ориентированы не одинаково.

Теорема 4.2. Пусть А, В и А', В'две пары точек, для которых АВ = -А'В'. Тогда существуют два перемещения/и ср, которые переводят А в А' иВвВ'. При этом полуплоскость у с границей АВ/иотображают на разные полуплоскости с границей А'В'.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >