Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow ГЕОМЕТРИЯ: ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ
Посмотреть оригинал

Композиции перемещений плоскости

Некоторые наиболее сложные задачи на построение решаются методом последовательного применения нескольких перемещений плоскости, которое называется композицией перемещений, поэтому мы в этом параграфе рассмотрим некоторые сведения, относящиеся к вопросу о композиции перемещений.

Определение 4.11. Композицией двух преобразований называется результат последовательного выполнения этих преобразований.

Определив композиции перемещений плоскости, мы можем рассмотреть еще одно перемещение плоскости — скользящая симметрия.

Скользящая симметрия

Определение 4.12. Скользящей, или переносной, симметрией называется композиция осевой симметрии и параллельного переноса, вектор которого параллелен оси симметрии.

Скользящую симметрию с осью d и вектором а обозначают так: S$, или сокращенно d5. Параллельный перенос на нулевой вектор есть тождественное преобразование, поэтому, если а = б, то S° = Sj. Осевая симметрия — частный случай скользящей симметрии.

Рассмотрим свойства скользящей симметрии.

  • 1. Композиция осевой симметрии и параллельного переноса обладает переместительным свойством.
  • 2. Скользящая симметрия неподвижных точек не имеет.
  • 3. Ось d — единственная неподвижная прямая скользящей симметрии.
  • 4. Скользящая симметрия — перемещение II рода.

Укажем некоторые наиболее важные свойства композиции перемещений плоскости.

Теорема 4.3. Всякое перемещение плоскости есть композиция не более трех осевых симметрий.

Теорема 4.4. Композиция двух осевых симметрий, оси которых параллельны, есть параллельный перенос. Вектор переноса перпендикулярен осям и направлен от первой оси ко второй, а его модуль равен удвоенному расстоянию между осями.

Теорема 4.5. Композиция двух осевых симметрий, оси которых пересекаются, есть поворот вокруг точки пересечения осей. Угол поворота равен удвоенному углу от первой оси до второй.

Теорема 4.6. Композиция трех осевых симметрий есть осевая симметрия тогда и только тогда, когда оси данных симметрий имеют единственную точку или параллельны между собой.

Теорема 4.7. Композиция трех осевых симметрий, оси которых не параллельны и не имеют общей точки, есть скользящая симметрия.

Теорема 4.8 (Шаля). Всякое перемещение плоскости —либо поворот, либо параллельный перенос, либо осевая симметрия, либо скользящая симметрия.

Теорема 4.9. Композиция В^Аа двух поворотов Аа и Вр есть или поворот Са+р, если а + (3 < 2л, или параллельный перенос, если а + 3 = 2л, или поворот Са+р_, если а + 3 > 2я.

Теорема 4.10. Два перемещения обладают переместительным свойством тогда и только тогда, когда одно перемещение посредством другого преобразуется в себя.

Теорема 4.11. На плоскости переместительным свойством обладают:

  • 1) две осевые симметрии с перпендикулярными осями;
  • 2) осевая и центральная симметрии, если ось проходит через центр;
  • 3) осевая симметрия и параллельный перенос, если вектор параллелен оси;
  • 4) осевая и скользящая симметрии, если их оси совпадают;
  • 5) два параллельных переноса;
  • 6) параллельный перенос и скользящая симметрия, если вектор параллелен оси;
  • 7) два поворота с общим центром (в частности, центральная симметрия и поворот с общим центром).
  • 8) две скользящие симметрии с общей осью.

Приведем таблицу (табл. 4.2), которая содержит ответ на вопрос, что представляет собой композиция тех или иных перемещений плоскости.

Таблица 4.2

Результаты перемещений

Обозначение или число

Условие

Результат

Композиция п осевых симметрий

п = 2

Sdl ~ Sd2

Тождественное преобразование

$d II $d2

Параллельный перенос

Sd 4 $d2

Центральная симметрия

$d n $d2 = (0}

Поворот вокруг точки 0

п = 3

Sn S(j2 n Sd3 = {0}

Осевая симметрия

Sell II sd21| sd3

в общем случае

Скользящая симметрия

Любое п

п — четное

Поворот или перенос

п — нечетное

Осевая или скользящая симметрия

Композиция л центральных симметрий

п=2

z0 - Zr

Тождественное преобразование

Zo * Zв

Параллельный перенос

п = 3

Центральная симметрия

Любое п

п — четное

Параллельный перенос

п — нечетное

Центральная симметрия

Композиция перемещений I рода

т

Параллельный перенос

TaZ0

Центральная симметрия

TaRS

Поворот

А = В

Поворот

А * В, а + р = 2п

Параллельный перенос

А * В, а + Р ф 2п

Поворот

Композиция скользящих симметрий

sbsd

d к

d' = d" или d' || d"

Параллельный перенос

d' ± d"

Центральная симметрия

d' n d" = {0}

Поворот

Окончание табл. 4.2

Обозначение или число

Условие

Результат

Композиция перемещений I и И рода

aSd

Slid

Скользящая симметрия

aid

Осевая симметрия

В общем случае

Скользящая симметрия

Zo^d

О е d

Осевая симметрия

Of? d

Скользящая симметрия

RSSd

О е d

Осевая симметрия

Of? d

Скользящая симметрия

Классификация перемещений плоскости приведена на рис. 4.7.

Рис. 4.7

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы