Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow ГЕОМЕТРИЯ: ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ
Посмотреть оригинал

Метод вращения и метод центральной симметрии

В гл. 3 мы уже приводили рекомендации по использованию метода вращения для решения задач на построение, а поэтому сразу приступим к решению конкретных задач.

Задача 6.17. Построить квадрат, вершины которого лежали бы по одной на каждой из трех параллельных прямых а, Ь, с.

Решение

Анализ. Пусть квадрат ABCD — искомый (рис. 6.16). Заметим, что точку D можно перевести в точку В вращением вокруг точки А на угол, равный 90° (против часовой стрелки). Повернем вокруг точки А всю фигуру на 90°; тогда точка D перейдет в В, прямая с перейдет в прямую с', перпендикулярную прямой а и проходящую через точку В. При этом треугольник AMD перейдет в равный ему треугольник АМ'В (AM 1 с и AM' 1 с'), можно построить точку В, котрая является пересечением прямых а и с'. Вершина А при построении квадрата может быть взята произвольно на прямой Ь. Отсюда вытекает построение.

Построение. 1. На прямой b берем произвольную точку Л.

  • 2. Из точки А опускаем перпендикуляр AM на прямую с.
  • 3. Вращаем прямую с вокруг точки Л до положения прямой с' (поворачиваем прямую с на 90°), т.е. строим на прямой Ъ отрезок AM' =АМ и через точку М' проводим прямую с', перпендикулярную прямой Ь.
  • 4. Отмечаем точку В пересечения прямых с' и а.
  • 5. На отрезке АВ как на стороне строим квадрат ABCD.

ABCD — искомый квадрат.

Рис. 6.16

Доказательство. По условию прямые а, b и с параллельны. По построению А е Ъ, В е а. Если повернем ABCD вокруг центра А на 90° (по часовой стрелке), то точка В перейдет в точку D, причем по свойству вращения AD = АВ. Значит, ABCD — квадрат, А е b, Be a,D е с.

Исследование. Если прямая b не равноудалена от прямых а и с, то задача имеет шесть решений, состоящих из трех пар равных квадратов.

Выбирая точку А на прямой Ъ и принимая ее за центр вращения (с углом вращения Ф = ±90°), получаем два равных квадрата ABCD uA'B'C'D' (см. рис. 6.16), которые можно считать различными решениями, в силу того что они занимают по отношению к точке А и данными прямыми различное положение.

Если за центр вращения взять точку А на прямой а или на прямой с, то получим еще две пары решений.

Если прямая b равноудалена от прямых а и с, задача будет иметь пять решений (квадраты ABCD и A'B'C'D' при этом совпадут).

Задача 6.18. Даны две окружности Sa и S2 и точка А. Построить равнобедренный ДАВС (АВ = АС) с данным углом ф при вершине А, так чтобы точки В и С лежали соответственно на окружностях Sa и S2.

Решение

Предположим, что задача решена (рис. 6.17), и повернем окружность Sx вокруг точки А на Zф. Она займет новое положение S(.

При этом вращении точка В окружности Sj перейдет, очевидно, в точку С окружности S2. В то же время точка С должна принадлежать преобразованной окружности S{.

Таким образом, искомая точка С является точкой пересечения окружностей S2 и S{. Итак, для решения задачи достаточно построить окружность S{ (для нахождения ее центра нужно построить равнобедренный треугольник АО{Ох с углом ф при вершине А) и найти точки ее пересечения с окружностью S.

Так как две различные окружности могут иметь две, одну или ни одной общей точки и так как окружность Sa можно в любую сторону (по или против часовой стрелки) поворачивать на угол ф, то задача может иметь до четырех решений. В случае равенства окружностей Sx и S2 задача может иметь и бесчисленное число решений (если совпадает с S2).

Задача 6.19. Построить равносторонний треугольник так, чтобы одной его вершиной была бы точка Р (рис. 6.18), другая принадлежала прямой а, третья — прямой Ъ.

Рис. 6.18

Решение

Пусть APKL — искомый треугольник (см. рис. 6.18).

Точки К и L находятся на равном расстоянии от точки Р, принадлежат прямым а и b соответственно и видны из точки Р под углом 60°.

Так как точка L является образом точки К при повороте вокруг точки Р на 60°, то она принадлежит образу прямой а при указанном повороте, т.е. точка L есть общая точка прямой a' = R$°°(a) и прямой Ь. Точка К является прообразом точки L.

Если Ь = Р^°°(а), то задача имеет бесконечно много решений. В остальных случаях задача имеет не более двух решений, так как прямая Ъ имеет не более одной точки пересечения с прямой а' и не более одной точки пересечения с прямой а" = Rp60a).

Задача 6.20. Построить п-угольник с нечетным числом сторон, зная середины всех сторон п-угольника.

Решение

Предположим, что п = 5, а точки Рь Р2, Р3, Р4, Р5 — середины сторон искомого пятиугольника AyA^^A^.

Пусть этот пятиугольник построен (рис. 6.19). Рассмотрим композицию пяти поворотов на углы по 180° около точек Рь Р2, Р3, Р4, Р5. Эта композиция оставляет точку Aj на месте. Кроме того, рассматриваемая композиция поворотов представляет собой центральную симметрию, а следовательно, имеет одну неподвижную точку — центр симметрии Ах.

Рис. 6.19

Симметрия (Oj переводит любую точку Мх плоскости в точку М2, симметрия со2 преобразует полученную точку М2 в точку М3, симметрия со3 — полученную точку М3 в точку М4, симметрия м4 переводит полученную точку М4 в точку М5, а симметрия со5 преобразует полученную точку М5 в точку М6, симметричную с точкой М, относительно середины О отрезка МХМ6, обязанной совпадать с вершиной Ах искомого пятиугольника АХА2А3А4А5. Зная вершину Аь легко построить пятиугольник A1A2A3A4As- Задача имеет единственное решение.

Задача 6.21. Даны точка А, прямая I и окружность со. Найти на прямой / и окружности (о по точке В и С, так чтобы треугольник АВС был правильным.

Решение

Рассмотрим вращение вокруг точки А на 60°. При соответствующем выборе направления это вращение переводит точку В в точку С (рис. 6.20). Построения сводятся к построению прямой V, получающейся из прямой I поворотом на 60° вокруг точки А. Точка пересечения V и со определит вершину С.

Понятно, что число решений задачи может меняться от нуля до четырех (два направления для вращения и в каждом случае получающаяся прямая может иметь 0, 1 или 2 точки пересечения с окружностью со). На рис. 6.20 решений два. При другом направлении вращения прямая не пересечет окружность.

Нередки случаи, когда для определения центра поворота необходимо сделать дополнительные построения. Кроме того, преобразование вращения может сопровождаться также гомотетией (поворотная гомотетия). Справедливо следующее утверждение.

Утверждение 6.1. Для любых двух отрезков АВ и CD существует такая точка Р, что поворот на соответствующий угол а вокруг Р и последую-

CD

щая гомотетия с центром в Р и коэффициентом к = — переводят А в С,

АВ

BbD.

В частных случаях это преобразование может представлять собой один поворот, одну гомотетию и вырождаться в параллельный перенос.

Доказательство. Обозначим через Q точку пересечения прямых АВ и CD (рис. 6.21). Опишем около треугольников ACQ и BDQ окружности. Обозначим через Р вторую точку пересечения этих окружностей. Треугольники РАВ и PCD подобны (одинаково отмеченные на рисунке углы равны по свойству вписанных углов). Поворот на угол а = ZAQC по часовой стрелке и последующая гомотетия переводят АВ в CD (рассмотрите самостоятельно другие случаи взаимного расположения отрезков АВ и CD. Как найти точку Р, если А совпадает с Q?).

Рис. 6.21

Задача 6.22. Даны две окружности, на одной отмечена точка А, а на другой — точка В. Найти на этих окружностях точки М и N, такие что центральные углы, соответствующие дугам AM и BN, равны (дуги измеряются в одном направлении), а длина MN равна заданной величине.

Решение

Найдем точку Р, являющуюся центром поворотной гомотетии (рис. 6.22), переводящей OjA в 02В (О, и 02 — центры окружностей).

Это преобразование очевидным образом переводит М в N. Треугольник MPN подобен треугольнику 0ХР02, MN известно. Можем построить треугольник, равный треугольнику MPN, а затем найти положение точек М и N.

Рис. 6.22

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы