Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow ГЕОМЕТРИЯ: ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ
Посмотреть оригинал

Метод параллельного переноса

Перейдем сразу к решению задач на построение методом параллельного переноса.

Задача 6.34. Даны две окружности Fv F2 и прямая I. Провести прямую, параллельную прямой I, на которой окружности Fr и F2 высекают равные хорды.

Решение

Пусть прямая V искомая, т.е. прямая V высекает на данных окружностях равные хорды АВ иА'В' (рис. 6.34).

Рис. 6.34

Тогда точки АиА',ВиВ' можно рассматривать как соответственные при параллельном переносе ОхО{.

Так как точка А' является образом точки А, принадлежащей окружности Fb то точка Л' принадлежит образу окружности F,. Следовательно, А’ — общая точка окружности F2 и образа окружности Fj при параллельном переносе 0-[0[. Построив точку А', находим на окружности F] ее прообраз. _

Если F2 есть образ точки Fx при параллельном переносе OjOf, то задача имеет бесконечное множество решений. В остальных случаях задача имеет не более четырех решений, так как окружность F2 имеет не более двух точек пересечения с окружностью F{ и не более двух точек пересечения с окружностью F" (образ окружности Fj при параллельном переносе ОуО{).

Задача 6.35. Между двумя данными окружностями (О, Р) и (Q, г) провести отрезок данной длины (а) параллельно данной прямой (АР).

Решение

Анализ. Допустим, что задача решена и отрезок CD является искомым (рис. 6.35). Если мысленно будем перемещать отрезок CD параллельно самому себе, оставляя один из его концов D скользящим по данной окружности (Q, г), то ясно, что другой конец (С) отрезка CD опишет в это время окружность того же радиуса (г), имеющую центр в некоторой точке Р, отстоящей от точки Q на расстояние, равное отрезку а. Отсюда следует, что, построив окружность (Р, г), мы сможем построить и искомые отрезки.

Рис. 6.35

Построение. 1. Проведем из точки Q отрезок QP, который параллелен прямой АВ и равен отрезку а.

  • 2. Около точки Р радиусом, равным г, опишем вспомогательную окружность (Р, г).
  • 3. Обозначим буквами С и ? те точки, в которых вспомогательная окружность (Р, г) пересечет окружность (О, Р).
  • 4. Если из точек С и ? проведем прямые, параллельные прямой АВ, то они пересекут окружность (Q, г) в некоторых точках D и F.

Отрезки CD и ?? — искомые.

Доказательство несложное, а поэтому предлагаем провести самостоятельно.

Исследование. Если вспомогательная окружность (Р, г) пересекает данную окружность (О, К), то задача имеет два решения.

Если окружность (Р, г) будет лишь касаться окружности (О, Р), то задача имеет одно решение.

Наконец, если окружность (Р, г) не будет ни касаться окружности, ни пересекать ее, то задача не имеет решений.

Задача 6.36. Даны окружность и прямая I. На окружности даны две точки А и В. Найти на окружности такую точку М, чтобы прямые МА и МВ пересекали I в точках К и N таким образом, что KN - а, где а — заданный отрезок.

Решение

Построим точку А' (рис. 6.36) так, чтобы NKAA' был параллелограммом (А' получается из А при помощи известного параллельного переноса). Поскольку ZBNA' = ZBMA, а последний известен, то точка N находится как пересечение I с соответствующим геометрическим местом точек. Следует также рассмотреть случай расположения точки М на другой дуге АВ.

Рис. 6.36

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы