Практикум. Задачи для самостоятельного решения

Нахождение геометрических мест точек

  • 1.1. Найти множество точек, отношение расстояний которых до двух данных перпендикулярных прямых постоянно и равно X.
  • 1.2 Найти множество точек, сумма квадратов расстояний которых до двух данных точек постоянна и равна а2.
  • 1.3. Найти множество точек, для каждой из которых отношение квадрата расстояния до данной точки к расстоянию до данной прямой, не проходящей через эту точку, постоянно и равно а.
  • 1.4. Найти множество середин отрезков, соединяющих данную точку с точками:
    • а) данной прямой;
    • б) данной окружности;
    • в) данной параболы;
    • г) данного отрезка.
  • 1.5. Найти множество концов В отрезков АВ, исходящих из данной точки А, если известно, что их середины лежат:
    • а) на данной прямой;
    • б) на данной окружности;
    • в) на данной гиперболе.
  • 1.6. Найти множество центров тяжести треугольников АВС, имеющих данное основание АВ, вершины С которых лежат:
    • а) на данной прямой;
    • б) на данной окружности;
    • в) на данной параболе.
  • 1.7. Найти множество вершин С треугольников АВС, имеющих данное основание АВ, центры тяжести которых лежат:
    • а) на данной прямой;
    • б) на данной окружности;
    • в) на данной параболе.
  • 1.8. Найти множество точек, сумма расстояний которых до прямых, содержащих две противоположные стороны данного квадрата, равна сумме расстояний до прямых, содержащих две другие его стороны.
  • 1.9. Найти множество точек, сумма расстояний которых до прямых, содержащих две смежные стороны квадрата, равна сумме расстояний до прямых, содержащих две другие его стороны.
  • 1.10. Найти множество точек, сумма расстояний которых до двух данных прямых постоянна и равна а. Рассмотреть случаи:
    • а) параллельных прямых;
    • б) перпендикулярных прямых;
    • в) пересекающихся под произвольным углом прямых.
  • 1.11. Найти множество точек, сумма квадратов расстояний которых до вершин данного многоугольника постоянна и равна а2. Рассмотреть случаи, когда многоугольником является:
    • а) квадрат;
    • б) прямоугольник;
    • в) правильный треугольник;
    • г) равнобедренный треугольник с основанием, вдвое большим, чем высота.
  • 1.12. Найти множество точек, отношение расстояний которых до двух данных точек постоянно и равно X.
  • 1.13. Найти множество точек, сумма квадратов расстояний которых до двух противоположных вершин прямоугольника равна сумме квадратов расстояний до двух других его вершин.
  • 1.14. Вершины Л и В прямоугольника ОАМВ скользят по двум взаимно перпендикулярным прямым, пересекающимся в точке О, при этом площадь прямоугольника остается постоянной. Найти множество точек М.
  • 1.15. Найти множество точек, делящих в данном отношении все хорды данной окружности, лежащие на прямых, проходящих через данную точку А. Рассмотреть различные положения точки А по отношению к данной окружности.
  • 1.16. Найти множество точек, касательные из которых, проведенные к данной окружности, имеют данную длину.
  • 1.17. Найти множество середин хорд данной окружности, имеющих данную длину.
  • 1.18. В треугольнике АВС сторона АВ закреплена, а сторона АС вращается вокруг точки А. Найти:
    • а) множество концов М медиан ВМ;
    • б) множество центров тяжести треугольников АВС.
  • 1.19. Прямоугольный треугольник ABC (ZC — прямой) скользит своими вершинами А и В по двум данным перпендикулярным прямым. Найти множество точек С.
  • 1.20. Найти множество центров окружностей, проходящих через данную точку и касающихся данной прямой. Рассмотреть случаи, когда данная прямая: а) проходит и б) не проходит через данную точку.
  • 1.21. Найти множество точек, из которых данный отрезок виден под данным углом.
  • 1.22. Найти множество точек М — вершин остроугольных треугольников АВМ с фиксированным основанием АВ.
  • 1.23. Найти множество центров окружностей, касающихся двух данных прямых.
  • 1.24. Найти множество центров окружностей, отсекающих от двух данных прямых равные хорды.
  • 1.25. Отрезок данной длины движется параллельно самому себе так, что один его конец скользит по окружности. Найти множество других концов.
  • 1.26. В треугольнике АВС вершины В и С неподвижны, а точка А перемещается так, что радиус описанного вокруг треугольника круга остается постоянным. Найти множество центров окружностей, вписанных в треугольники АВС. Рассмотреть отдельно частный случай, когда ВС — диаметр описанной окружности.
  • 1.27. Концы отрезка АВ постоянной длины скользят соответственно по двум перпендикулярным прямым, пересекающимся в точке О. Найти множество центров окружностей, описанных вокруг треугольников ОАВ.
  • 1.28. Найти множество точек, сумма расстояний которых до сторон правильного треугольника равна высоте этого треугольника.
  • 1.29. Найти множество оснований перпендикуляров, опущенных из данной точки на все прямые, проходящие через другую данную точку.
  • 1.30. Найти множество точек, симметричных данной точке относительно всех прямых, проходящих через другую данную точку.
  • 1.31. Найти множество точек, которые делят в данном отношении отрезки, отсекаемые сторонами данного утла на всех параллельных прямых данного направления.
  • 1.32. Даны окружность и ее хорда АВ. Найти множество точек пересечения высот треугольников АВС, вписанных в эту окружность.
  • 1.33. Найти множество центров окружностей данного радиуса, делящих пополам данную окружность.
  • 1.34. Найти множество окружностей данного радиуса, отсекающих от данной прямой хорду данной длины.
  • 1.35. Найти множество центров окружностей данного радиуса, пересекающих данную окружность так, что хорда, соединяющая точки пересечения, имеет данную длину.
  • 1.36. Даны две концентрические окружности. Найти множество вершин прямых углов, у которых одна сторона касается внешней окружности, другая — внутренней.
  • 1.37. Даны две параллельные прямые. На одной из них — точки А и В. На другой точки К и S перемещаются так, что расстояние KS остается постоянным. Найти множество точек пересечения: а) АК и BS; б) AS и ВК.
  • 1.38. Найти множество центров прямоугольников, вписанных в данный треугольник.
  • 1.39. На данной прямой даны две точки А и В. Найти множество точек касания пар окружностей, касающихся друг друга и данной прямой соответственно в точках А и В.
  • 1.40. На прямой даны две пары точек А, В и С, D. Найти множество точек касания окружностей, проходящих соответственно через А, В и С, D.
  • 1.41. На прямой даны три точки А, В и С. Найти множество точек пересечения равных окружностей, проходящих соответственно через А, В и С, В.
  • 1.42. Из произвольной точки М, взятой на продолжении диаметра данной окружности с центром О, проведены к этой окружности касательные, на которых отложены отрезки МР и МР1, равные МО. Найти множество точек Р и Pv
  • 1.43. В треугольник АВС вписан квадрат так, что одна его сторона лежит на стороне АВ. Найти множество центров таких квадратов при условии, что точка С перемещается по прямой, параллельной АВ.
  • 1.44. Найти множество точек, сумма расстояний которых до двух параллельных прямых больше данного отрезка.
  • 1.45. Найти множество вершин треугольников с данным основанием АВ, медианы AM которых имеют данную длину.
  • 1.46. Даны окружность и ее диаметр АВ. Через точку А проводятся всевозможные прямые, пересекающие окружность в точках М. На каждой прямой откладываются отрезки МР = МВ так, что точки Р лежат вне круга. Найти множество точек Р.
  • 1.47. На плоскости даны два параллельных отрезка АВ и CD. Найти множество точек М, для которых сумма площадей треугольников АВМ и CDM постоянна и равна а2.
  • 1.48. Через точку А касания двух окружностей проведены две взаимно перпендикулярные хорды АВ и АС разных окружностей. Найти множество середин отрезков ВС.
  • 1.49. Найти множество точек, из которых две данные окружности видны под равными углами.
  • (Напомним: говорят, что окружность видна из точки А под углом а, если касательные к этой окружности, проведенные из точки А, образуют угол а.)
  • 1.50. Даны окружность и ее диаметр АВ. Данный отрезок PQ скользит своей серединой по окружности, оставаясь параллельным АВ. Найти множество точек пересечения прямых АР и BQ.
  • 1.51. Найти множество точек М, расположенных внутри треугольника АВС, для которых сумма площадей треугольников АМВ и ВМС равна площади треугольника АМС.
  • 1.52. Найти множество точек М, для которых треугольники АВМ, ВМС, АМС равновелики (А, В, С — данные точки).
  • 1.53. Даны два отрезка АВ и CD, не принадлежащие одной прямой. Найти множество точек М, для которых треугольники АВМ и DCM равновелики.
  • 1.54. Отрезок АВ постоянной длины скользит своими концами по сторонам данного угла. В точках А и В восставлены к этим сторонам перпендикуляры, пересекающиеся в точке М. Найти множество точек М.
  • 1.55. Даны окружность с центром О и ее диаметр АВ. На каждом радиусе откладывается отрезок ОМ, длина которого равна расстоянию конца этого радиуса до диаметра АВ. Найти множество точек М.
  • 1.56. На сторонах угла С даны точки А и В, равноудаленные от С. Доказать, что множеством точек М расположенных внутри угла, для которых луч МС — биссектриса угла АМВ, являются открытая дуга окружности и биссектриса данного угла (без точки С).
  • 1.57. В круге дана хорда АВ. Хорда CD скользит своими концами по окружности, сохраняя длину. Найти множество точек пересечения прямых: а) АС и BD; б) AD и ВС.
  • 1.58. Найти множество середин отрезков АВ, концы которых движутся по сторонам данного угла так, что сумма расстояний их до вершины остается постоянной.
  • 1.59. Переменная секущая отсекает на сторонах данного угла отрезки, сумма длин которых постоянна. Найти множество центров тяжести полученных треугольников.
  • 1.60. Найти множество точек М, для которых перпендикуляры к прямым AM, ВМ, СМ, восставленные соответственно из вершин А, В и С, пересекаются в одной точке.
  • 1.61. Доказать, что множество точек, расстояния от которых до двух сторон данного треугольника обратно пропорциональны их расстояниям до соответствующих противоположных его вершин, есть окружность, описанная вокруг этого треугольника.
  • 1.62. Две равные окружности пересекаются в точках А и В. Через точку А проводятся всевозможные прямые, пересекающие эти окружности в точках Р и Q соответственно. Найти множество середин отрезков PQ.
  • 1.63. Дан треугольник. Проводятся прямые а и Ь, соответственно параллельные двум сторонам треугольника, так, что отрезки этих прямых, заключенные внутри треугольника, равны. Найти множество точек пересечения прямых а и Ь.
  • 1.64. Найти множество точек, равноудаленных:
    • а) от сторон угла;
    • б) от двух противоположных сторон квадрата;
    • в) от двух смежных сторон прямоугольника;
    • г) от двух противоположных сторон параллелограмма;
    • д) от двух смежных сторон параллелограмма;
    • е) от двух диагоналей параллелограмма;
    • ж) от двух медиан треугольника;
    • з) от двух не параллельных и не пересекающихся отрезков;
    • и) от двух окружностей (рассмотреть разные случаи расположения окружностей).
  • 1.65. Найти множество точек, для которых:
    • а) сумма расстояний до двух параллельных лучей постоянна и равна а;
    • б) сумма расстояний до сторон данного прямоугольника постоянна и равна а;
    • в) сумма расстояний до двух противоположных сторон квадрата равна сумме расстояний до двух других его сторон;
    • г) модуль разности расстояний от них до двух смежных сторон квадрата равен модулю разности расстояний от них до двух других сторон;
    • д) сумма расстояний до трех сторон правильного треугольника равна а;
    • е) сумма расстояний которых до двух пересекающихся во внутренней точке отрезков равна а;
    • ж) модуль разности расстояний от них до двух пересекающихся во внутренней точке отрезков равен а.
  • 1.66. Построить ГМТ, разность квадратов расстояний которых от двух данных точек А и В равна к2, где к — длина данного отрезка.
  • 1.67. Найти ГМТ оснований перпендикуляров, опущенных из данной точки на прямые, проходящие через другую данную точку.
  • 1.68. Найти ГМТ, из которых данная окружность О(г) видна под данным углом А.
  • 1.69. Дан квадрат со стороной 2а. Найти ГМТ, сумма квадратов расстояний которых до сторон этого квадрата есть величина постоянная, равная 2.
  • 1.70. Дана окружность радиуса Я. Найти ГМТ середин тех хорд этой окружности, длина которых равна I.
  • 1.71. В круге радиуса Я проведены диаметр АВ и хорда АС. На продолжении хорды отложен отрезок CD = ВС. По какой линии движется точка D, когда хорда АС вращается около точки А?
  • 1.72. Найти ГМТ, из которых видны под равными углами два отрезка АВ и ВС, расположенные на одной прямой и не перекрывающие друг друга.
  • 1.73. Найти ГМТ, из которых две данные окружности, лежащие одна вне другой, видны под одним и те же углом.
  • 1.74. Дан треугольник АОВ; по двум его сторонам ОА и О В от вершины О перемещаются точки Р и Q так, что АР = BQ. Найти ГМТ середины отрезка PQ.

Указание. Рассмотреть два различных положения отрезка, PQ и Р, Q1, и установить, что PQ || PjQj.

1.75. Найти ГМТ, сумма расстояний которых от двух данных параллельных прямых есть величина постоянная, равная данному отрезку d.

Указание. Допустив, что задача решена, найти расстояние какой- либо точки искомого ГМТ до одной из данных параллельных прямых.

1.76. Найти ГМТ, сумма расстояний которых от двух данных параллельных прямых больше данного отрезка d.

Указание. См. предыдущую задачу. Искомым ГМТ будут две полуплоскости.

1.77. Дан отрезок АВ = а. Найти ГМТ, отстоящих от АВ на расстоянии, меньшем данного отрезка d, и из которых АВ виден под углом, большим данного угла а.

Указание. Искомое ГМТ есть пересечение (общая часть, рис. П.1) двух фигур Ф: и Ф2. Контур AKAlA2LBA3A4 общей части этих фигур не принадлежит искомому ГМТ.

П. 7

Рис. П. 7

1.78. Найти ГМТ середин отрезка АВ, концы которого скользят по сторонам данного прямого угла.

Указание. Воспользоваться свойством медианы, проведенной из вершины прямого угла.

  • 1.79. Дан квадрат. Найти ГМТ точек М, таких что расстояние от М до центра квадрата не превосходит расстояния от М до любой вершины квадрата.
  • 1.80. Найти ГМТ, из которых данный квадрат виден под углом 60°.
  • 1.81. Даны окружность и точка Л. Найти геометрическое место середин всевозможных хорд, таких, что прямая, которой эта хорда принадлежит, проходит через точку А.
  • 1.82. Дана прямая I и две точки А и В по одну сторону от нее. Найти геометрическое место центров всевозможных окружностей, проходящих через А и В и пересекающих прямую I.
  • 1.83. Найти геометрическое место точек М, таких что АМ2+ВМ2=СМ2, где А, В, С — данные точки плоскости.
  • 1.84. ABCD — трапеция. Найти геометрическое место точек М, таких что AM2 + СМ2 = ВМ2 + DM2.
  • 1.85. На окружности фиксированы точки А и В, а точка С перемещается по окружности. Найти геометрическое место точек пересечения: а) медиан; б) высот; в) биссектрис треугольников АВС.
  • 1.86. Найти геометрическое место середин всевозможных отрезков с концами на противоположных сторонах данного четырехугольника.
  • 1.87. Через точку М, расположенную внутри параллелограмма, проведены две прямые, параллельные его сторонам. Найти геометрическое место точек М, если:
    • а) два параллелограмма из четырех получившихся, не имеющие общей стороны, равновелики;
    • б) сумма площадей двух параллелограммов равна сумме площадей двух других.
  • 1.88. Найти геометрическое место точек, для которых: а) сумма; б) разность расстояний до двух заданных прямых равна заданной величине.
  • 1.89. Около данной окружности описан треугольник АВС, у которого ZA > ZB> ZC. Найти геометрическое место вершин А, В, С.
  • 1.90. Найти геометрическое место таких точек М внутри данного треугольника, которые являются серединами не менее чем двух различных отрезков с концами на сторонах этого треугольника.
  • 1.91. Даны точки А и В. Найти геометрическое место точек С, таких что в треугольнике АВС медиана AM равна высоте BN.
  • 1.92. Даны окружность и точка А. Произвольная окружность, проходящая через А, пересекается с данной в точках В и С. Касательная к этой окружности в точке А пересекается с прямой ВС в точке М. Найти геометрическое место точек М.
  • 1.93. Через точку пересечения двух окружностей проведена прямая, вторично пересекающая окружности в двух точках А и В. Найти геометрическое место середин отрезков АВ.
  • 1.94. Даны точка А и прямая I, В — произвольная точка на I. Найти геометрическое место точек М, таких что АВМ — правильный треугольник.
  • 1.95. Дан правильный треугольник АВС. На продолжении его сторон АВ и АС за точки В и С взяты точки D и Е так, что BD ? СЕ = ВС2. Найти геометрическое место точек пересечения прямых DC и BE.
  • 1.96. Даны три точки А, В, и С на прямой, D — произвольная точка плоскости, не лежащая на этой прямой. Проведем через С прямые, параллельные AD и BD, до пересечения с прямыми BD и AD в точках Р и Q. Найти геометрическое место оснований М перпендикуляров, опущенных из С на PQ, а также найти все точки D, для которых М — фиксированная точка.
  • 1.97. На стороне АС треугольника АВС взята точка К, а на медиане BD — точка Р так, что площадь треугольника АРК равна площади треугольника ВРС. Найти геометрическое место точек пересечения прямых АРиВК.
  • 1.98. В окружности проведены два взаимно перпендикулярных диаметра АС и BD. Пусть Р — произвольная точка окружности, РА пересекает BD в точке Е. Прямая, проходящая через Е параллельно АС, пересекается с прямой РВ в точке М. Найти геометрическое место точек М.
  • 1.99. Даны угол, вершина которого в точке А, и точка В. Произвольная окружность, проходящая через А и В, пересекает стороны угла в точках С и D (отличных от А). Найти геометрическое место центров тяжести треугольников ACD.
  • 1.100. Одна вершина прямоугольника находится в данной точке, две другие, не принадлежащие одной стороне, — на двух заданных взаимно перпендикулярных прямых. Найти геометрическое место четвертых вершин таких прямоугольников.
  • 1.101. Пусть А — одна из двух точек пересечения двух данных окружностей; через другую точку пересечения проведена произвольная прямая, пересекающая одну окружность в точке В, а другую — в точке С, отличных от общих точек этих окружностей. Найти геометрическое место:
    • а) центров окружностей, описанных около АВС;
    • б) центров тяжестей треугольников АВС;
    • в) точек пересечения высот треугольников АВС.
  • 1.102. Пусть В и С — две фиксированные точки данной окружности, А — переменная точка этой же окружности. Найти геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из середины АВ на АС.
  • 1.103. Найти геометрическое место точек пересечения диагоналей прямоугольников, стороны которых (или их продолжения) проходят через четыре данные точки плоскости.
  • 1.104. Через точку, лежащую на равном расстоянии от двух данных параллельных прямых, проведена прямая, пересекающая эти прямые в точках М и JV. Найти геометрическое место вершин Р равносторонних треугольников MNP.
  • 1.105. Точки А, В и С расположены на одной прямой (В — междуА и С). Найти геометрическое место точек, таких что ctgZAMB + ctgZBMC = к (fc = const).
  • 1.106. Даны две точки А и Q. Найти геометрическое место точек В, таких что существует остроугольный треугольник АВС, для которого Q — точка пересечения медиан.
  • 1.107. Даны угол и окружность с центром в точке О, вписанная в этот угол. Произвольная прямая касается окружности и пересекает стороны угла в точках М и N. Найти геометрическое место центров окружностей, описанных около треугольников MON.
  • 1.108. Даны две окружности, на них взяты по одной точке А и В, равноудаленные от середины отрезка, соединяющего их центры. Найти геометрическое место середин отрезков АВ.
  • 1.109. Дан отрезок АВ. Возьмем на АВ произвольную точку М и рассмотрим два квадрата AMCD и MBEF, расположенные по одну сторону от АВ. Опишем около этих квадратов окружности и обозначим через N их точку пересечения, отличную от М. Доказать, что: a) AF и ВС пересекаются в N; б) MN проходит через фиксированную точку плоскости. Найти геометрическое место середин отрезков, соединяющих центры квадратов.
  • 1.110. Даны окружность и точка А. Пусть М — произвольная точка окружности. Найти геометрическое место точек пересечения серединного перпендикуляра к отрезку AM и касательной к окружности, проходящей через М.
  • 1.111. Две окружности касаются друг друга в точке А. Одна прямая, проходящая через А, пересекает вторично эти окружности в точках В и С, другая — в точках Ва и Сг (В и Вг — на одной окружности). Найти геометрическое место точек пересечения окружностей, описанных около треугольников АВУС и АВСг.
  • 1.112. Найти геометрическое место вершин прямых углов всевозможных равнобедренных прямоугольных треугольников, концы гипотенуз которых лежат на двух заданных окружностях.
  • 1.113. Прямоугольный треугольник ABC (ZC = 90°) перемещается по плоскости таким образом, что вершины его А и В скользят по сторонам данного прямого угла О. Доказать, что вершина С опишет отрезок.

Указание. Описать вокруг АВСО окружность и рассмотреть углы ВАС и ВОС, заметив при этом, что угол ВАС постоянный.

1.114. Найти ГМТ плоскости, из которых данный отрезок АВ, лежащий на плоскости, виден под любым (переменным) острым углом, а данный отрезок CD виден под данным тупым углом.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >