Влияние параметров системы на автоколебания

В некоторых случаях возникает необходимость оценить влияние одного из параметров системы (обозначим его а) на автоколебания. При этом уравнение (9.16) принимает вид

Следовательно, соотношения (9.17) кроме параметров автоколебаний содержат и а:

Разрешив уравнения (9.18) относительно Л и со, получим параметрические зависимости

и построим соответствующие графики (рис. 9.6).

Пример влияния параметра а на периодические процессы

Рис. 9.6. Пример влияния параметра а на периодические процессы

По ним можно выбрать значение а0, при котором в системе будут возникать автоколебания с определенными амплитудой и частотой (Л0 и со0).

Способ Гольдфарба

Решение основного уравнения метода гармонического баланса (9.14) относительно амплитуды и частоты автоколебаний можно получить графически.

В способе Гольдфарба предлагается разрешить его следующим образом относительно частотной характеристики линейной части системы:

Затем на комплексной плоскости отдельно строятся амплитудно-фазовая характеристика W4(Jco) и характеристика, соответствующая нелинейному элементу, т.е.

Если эти две характеристики не пересекаются, то автоколебаний в нелинейной системе не возникает.

При наличии пересечений частота автоколебаний определяется по частотной характеристике линейной части системы W;i(/co), а амплитуда — но характеристике нелинейного элемента в точке пересечения.

Поскольку в общем случае точек пересечения WJJod) и характеристики нелинейного элемента (9.19) может быть несколько, то в системе могут возникать соответствующие им автоколебания различной амплитуды и частоты. Причем часть из них будут устойчивыми, а часть — неустойчивыми.

Устойчивость найденного автоколебательного режима позволяет оценить следующее правило (оно не является строго обоснованным, но зачастую оказывается достаточным): если при движении по обратной частотной характеристике нелинейного элемента в сторону увеличения амплитуды происходит пересечение амплитудно-фазовой характеристики линейной части «изнутри наружу», то этой точке пересечения соответствуют устойчивые автоколебания; в противном случае автоколебания будут неустойчивыми.

1

На рис. 9.7 характеристики Wt(jo) и - . пересекаются в двух

^11Э(Л,;со)

точках. Это означает, что в системе могут возникать два вида автоколебаний.

Иллюстрация способа Гольдфарба

Рис. 9.7. Иллюстрация способа Гольдфарба

Причем первой точке пересечения соответствуют устойчивые автоколебания с амплитудой Л, и частотой со,, а второй точке — неустойчивые.

Пример 9.4. Определить параметры автоколебаний и проверить их устойчивость для системы, изображенной на рис. 9.5. Здесь нелинейный элемент представляет собой идеальное реле (см. рис. 9.4) с уровнем ограничения с = я, а передаточная функция линейной части следующая:

Решение

Заменив в передаточной функции р наусо, получим выражение для амплитудной частотной характеристики в виде

или

Она представлена на рис. 9.8.

Расположение характеристик для примера 9.4

Рис. 9.8. Расположение характеристик для примера 9.4

Запишем выражение для частотной характеристики нелинейного элемента

а затем построим годограф (см. рис. 9.8)

Как видим, эти характеристики пересекаются в одной точке, которая соответствует устойчивым автоколебаниям.

Для определения их параметров найдем координаты точки пересечения, для чего приравняем к нулю мнимую часть W,(jcо), т.е.

Отсюда следует, что соя = 1.

При найденном значении частоты получим

Из условия

определим амплитуду автоколебаний: Аа = 8.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >