Умножение тензора на вектор

1. Пусть нам дан тензор

и вектор

Под скалярным произведением тензора П на вектор А справа мы будем понимать новый вектор А!, который будем обозначать символом UА или ПА, определяемый по формуле:

Проекциями этого вектора А' являются:

Таким образом, скалярное произведение тензора Я на вектор А есть вектор, составляющие которого линейно выражаются через составляющие

вектора А , причем коэффициентами являются компоненты тензора П.

Вектор А' - ПА называется еще его линейной векторной функцией.

Из самого вида формул (2.15) ясна дистрибутивность скалярного произведения тензора на вектор:

и его ассоциативность:

Рассмотрим частный случай, когда тензор П есть диада

В этом случае формулы проекций AJ (2.15) приводятся к виду:

и, следовательно, мы получаем, что

Отсюда видно, что для того чтобы скалярно помножить диаду на вектор, достаточно формально помножить на этот вектор ближайший к нему вектор диады.

Если тензор П есть сумма нескольких диад, например,

то в силу дистрибутивности произведения мы получим аналогичный результат

При перемножении тензора на вектор важно указывать порядок умножения. Условимся под скалярным произведением тензора (2.14) на вектор А понимать новый вектор А”, который будем обозначать символом АП или АЛ, определяемый по формуле:

и в проекциях:

Для произведения вектора на диаду получим

и далее,

Все эти формулы приводят к очень простому практическому правилу: для скалярного умножения суммы нескольких диад на вектор достаточно помножить последний скаляр на ближайший к нему вектор каждой диады.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >