Сравнение математических ожиданий двух нормально распределенных генеральных совокупностей по результатам больших независимых выборок

Предварительно заметим, что смысл таких параметров, как математическое ожидание М(Х) и генеральная средняя X, идентичен. Применение разных символом ЩХ) и X при постановке задач связано лишь различиями в акцентах, когда в одних случаях суть задачи более точно передается символом «математическое ожидание», а в других - «генеральная средняя».

На практике часто встречаются ситуации, когда результаты наблюдений над двумя величинами X и Y указывают на различие между выборочными средними значениями этих величин. В подобных случаях возникает вопрос, можно ли считать эти расхождения незначимыми, т.е. чисто случайными, или они вызваны существенным различием соответствующих генеральных средних. Например, имеется ли значимое различие в эффективности лечения двумя препаратами, или различия чисто случайны, имеют ли два сорта сельскохозяйственной культуры одинаковую в среднем урожайность или все же разную и т.д. Ответ может быть получен при использовании следующего метода.

Пусть Хи Y— случайные величины выборок, извлеченные из двух нормально распределенных генеральных совокупностей. Если объем обоих выборок велик (не менее 30 каждая), то можно считать, что выборочные исправленные дисперсии Sj и Sj.

являются достаточно хорошими оценками генеральных дисперсий ЩХ) и Ц(У), а выборочные средние Зсв и у, дают приближешюе представление о значениях неизвестных математических ожиданий ЩХ) и .ЩУ). Требуется проверить, юо математические ожидания выборочных средних равны между собой, которые, как правило, являются различными. В этом случае при заданном уровне значимости а проверяется нулевая гипотеза Но: М{Х)-M(Y) о равенстве математических ожиданий случайных величин Хч У с известными генеральными дисперсиями при альтернативной гипотезе: a) Ht: М(Х)ф М(У); б) Н: М(Х)>M(Y) в) Ну. М(Х)<М(У).

Наблюдаемое значение критерия находится по формуле

где пх и пу - объемы выборок соответственно величин X и У.

Вид критической области зависит от типа альтернативной гипотезы:

  • а) Нс ЩХ)фМ(Т) - критическая область двусторонняя, задаваемая неравенством |К1>ЛГкр„р (Кщ, пр>0), где критическая точка Якрпр находится по таблице прил. 2 функции Лапласа из формулы Ф( ?кр пр) = 0,5(1 - а). Если |/(на&,|Л^р пр - нулевая гипотеза отвергается;
  • б) Нс М(Х)>М(У) - критическая область правосторонняя и определяется неравенством К>КН,р, где K,v 1ф находится по таблице прил. 2 из формулы Ф(Ккрф) = 0,5-а. Если Кт&л<Щпр- нулевая гипотеза принимается, если ,,, - нулевая гипот еза отвергается;
  • в) Нс -ЩХ)<ЩУ) - критическая область левосторонняя, заданная неравенством К<Курр ур пр<0), где К*г пр находят по правилу б), а затем следует присваивать ему знак «минус», приняв -ЛГкр^Ккрж*. Если К„абп>^крПсв - нулевая гипотеза принимается, если К«лъо<К.Кр лс» - нулевая гипотеза отвергается.

Пример 9.4. По выборке объема л* = 40 найдена выборочная средняя масса хв = 0,500 г таблеток, взятых из первой партии; по выборке объема пу- 50 выборочная средняя масса таблеток из второй партии равна ул = 0,505 г. Значения выборочных исправленыых дисперсий составили соответственно: S* = 2,5-10-5 г2 и sl = 3,6 • 10-5 г2. Предполагается, что значения массы таблеток приближенно распределены по нормальному закону. При уровне значимости а = 0,05 выяснить, можно ли считать различие в средних массах таблеток: а) случайным; б) выборочная средняя масса таблеток первой партии меньше, чем во второй.

Решение, а) Для данного объема выборок, не меньше 30 каждая, можно считать, что исправленные выборочные дисперсии являются хорошими оценками генеральных дисперсий

Сформулируем нулевую и конкурирующую гипотезы согласно условию примера.

Но'. М(Х)=М(У) - математические ожидания двух нормально распределенных совокупностей X и У с известными генеральными дисперсиями равны (применительно к условию примера выборочная средняя масса таблеток в двух партиях одинакова).

Н. М(Х)ФМ(Y) - математические ожидания двух нормально распределенных совокупностей Л" и К с известными генеральными дисперсиями не равны (применительно к условию примера выборочная средняя масса таблеток в двух партиях неодинакова).

При заданном уровне значимости а = 0,05 вычислим

откуда по таблице ирил. 2 функции Лапласа найдем критическую точку Ккр = 1,96.

По условию задачи альтернативная гипотеза имеет вид Н: М(Х) * М(У), поэтому критическая область двусторонняя. С учетом этого находим две критические точки:

По формуле (9.1) найдем наблюдаемое значение критерия:

Вычисленное наблюдаемое значение критерия Ктб„ (по модулю) больше/СР.Щ1,т.е.|А:на6;]=4,31>1,96 = А:крпр(Я'крпр>0) и при этом

попадает в критическую область принятия гипотезы Н (рис. 9.5). На основе сравнения положений критических точек Кщ, и наблюдаемого значения Кмбл делаем вывод, что нулевая гипотеза Но отвергается и принимается альтернативная гипотезы Н. Это означает, что при уровне значимости а = 0,05 имеются 2 партии с различными выборочными средними массами таблеток, т.е. *в * ув.

Двусторонняя критическая область

Рис. 9.5. Двусторонняя критическая область

б) Сформулируем нулевую и конкурирующую гипотезы согласно условию примера.

На. М(Х)=М(У) - математические ожидания двух нормально распределенных совокупностей X и У с известными генеральными дисперсиями равны (применительно к условию примера выборочная средняя масса таблеток в двух партиях одинакова).

Из условия примера следует, что выборочная средняя массы таблеток 1-й партии меньше, чем 2-й. Поэтому выдвигаем естественную альтернативную гипотезу.

Ну. М(Х)<М(У) - математическое ожидание для X .меньше, чем математическое ожидание для У с известными генеральными дисперсиями (применительно к условию примера выборочная средняя масса таблеток 1-й партии меньше, чем 2-й партии).

Альтернативная гипотеза имеет вид Ну. М(Х) < М( У), поэтому критическая область левосторонняя.

При заданном уровне значимости а = 0,05 вычислим

откуда по таблице прил. 2 функции Лапласа найдем значение критической точки пр = 1,6, а затем присваиваем ему знак

«минус», приняв -к^ v = -1,6 = л:кр ^.

Так как ЛГнабл = -4,31 <-1,6 = АГ1флев [т.е. наблюдаемое значение критерия Ктв., попадает в критическую область (рис. 9.6)], то нулевая гипотеза Но отвергается и принимается альтернативная гипотеза Н. Следовательно при уровне значимости а = 0,05 можно утверждать, что выборочная средняя масса х„ таблеток 1-й партии меньше выборочной средней массы ув таблеток 2-й партии, т.е. имеет место

хв < _ув. Подчеркнем, что сравнение примеров 9,4, а и 9,4, б наглядно демон-

стрирует важность выбора Рис. 9 6 Левосторонняя крит. область гипотезы Н при проверке статистических гипотез.

Пример 9.5. По двум независимым выборкам случайных величин, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и У, объемы выборок составили соответственно пх = 55,

п2 =45, найдены выборочные исправленные дисперсии si =117,1 и si = 97,2, а также выборочные средние хв = 1245 и ув = 1270. При уровне значимости а = 0,01 проверить нулевую гипотезу Я0: М(Х) = М(У) о равенстве математических ожиданий двух нормальных статистических совокупностей X и У при альтернативной гипотезе Я,: М(Х) * М(У).

Решение. Объемы выборок достаточно велики (и >30), поэтому считаем известными оценки генеральных дисперсий. По формуле (9.1) вычислим наблюдаемое значение критерия

При заданном уровне значимости а = 0,01 найдем

откуда по таблице прил. 2 функции Лапласа найдем критическую точку Ккг = 2,54.

Для альтернативной гипотезы Я,: М(Х) ф М(У) находим две критические точки: К^ лсв = -2,54 и А'^рф = 2,54. Наблюдаемое значение критерия КИаб., больше Ккр 1ф (| |=12,07>2,54 = Л'ч,пр) и попадает в критическую область принятия альтернативной гипотезы Я] (рис. 9.7). Поэтому принимаем гипотезу Н, т.е. при уровне значимости а = 0,01 полученное различие выборочных средних величин А" и У не случайно (хв ф ув).

Двусторонняя критическая область

Рис. 9.7. Двусторонняя критическая область

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >