Сравнение математических ожиданий двух нормально распределенных генеральных совокупностей по результатам малых независимых выборок

Описанный выше критерий неприменим, если объем выборки мал (следовательно, нельзя получить хорошие оценки генеральных дисперсий). Поэтому применяют следующий метод.

Пусть рассматриваются две случайные величины X и У, объемы выборок которых соответственно равны пх и пу (пх <30,иу <30), по которым найдены соответствующие выборочные средние Зсв и ул, а также выборочные исправленные дисперсии s] и S2y. Генеральные дисперсии хотя и неизвестны, но

предполагаются примерно одинаковыми (т.е. требуется предварительная проверка гипотезы о равенстве дисперсий, см. п. 9.4).

В предположении нормальности распределения случайных величин X и У при нулевой гипотезе //0: М(Х) = М(У) вычисляют наблюдаемое значение критерия по формуле

Полученное значение Ктсравнивают с критическим значением K^aJ) распределения Стьюдента.

Вид критической области зависит от типа альтернативной гипотезы:

  • а) Н. М(Х)ф М{У) - критическая область двусторонняя, задаваемая неравенством |АП>АГкр пР (А'Кр,Ф>0). Критическая точка Кур пр(а, J) находится по таблице прил. 5 распределения Стьюдента, где а (помещен в верхней строке таблицы) — уровень значимоста для двусторонней критической области, / =пх+пу-2 - число степеней свободы. Если |К[В&1 | < KKf tip - нулевая гипотеза принимается, а если К11аВ:, > Ккр 1ф - нулевая гипотеза отвергается (признается правильной гипотеза Hi);
  • б) Ни М(Х) > М( К) — критическая область правосторонняя и определяется неравенством К>Кщ, пр, где /Српр ищут в таблице прил. 5 по уровню значимости а (помещен в нижней строке таблицы) для односторонней критической области и числу степеней свобода f - пх +пу -2. Если Кка,ткр - нулевая гипотеза принимается, если /пибл^кр пр - нулевая гипотеза отвергается (признается правильной гипотеза Hi);
  • в) Hi: M(X) - критическая область левосторонняя, заданная неравенством KKf пр (Кщ, ,ф<0), где Ккрр также находят в таблице прил. 5 по уровню значимости а (помещен в нижней строке таблицы) для односторонней критической области и числу степеней свободы f = пх + пу - 2, а затем следует взять

найденное значение со знаком «минус», приняв =^крле» •

Если Кнggj, > Ккр лев — нулевая гипотеза Н„ принимается, если ^набл < ^кр лев> т0 нулевая гипотеза Но отвергается.

Пример 9.6. Показатели скорости оседания эритроцитов (СОЭ) 20 больных дегей (группа Л) и 16 больных (группа Y) представлены ниже:

X: 11, 10,12, 10, 10, 13,9,12, 13,10,10,11,9,9,12, 14,11,12, 13; 13.

Y: 8, 10, 9, 7, 10, 12, 14, 13, 10, 8, 10, 13, 11, 12, 9, 8.

Предполагая, что значения показателя СОЭ распределены по нормальному закону, оценить достоверность различий математических ожиданий X и Y с доверительной вероятностью 95%.

Решение. Объем выборки мал (и< 30). Из полученных сведений составим статистический дискретный ряд распределения больных группы X (табл. 9.2) и Y (табл. 9.3).

Таблица 9.2. Статистический ряд распределения частот группы X

X

9

10

11

12

13

14

т

3

5

3

4

4

1

Таблица 9.3. Статистический ряд распределения частот группы У

У

7

8

9

10

11

12

13

14

т

1

3

2

4

1

2

2

1

Используя данные табл. 9.2 и 9.3, по формуле (7.16) найдем выборочные средние:

По формуле (7.24) вычислим выборочные исправленные дисперсии случайных величин Хм У:

Сформулируем гипотезы.

Но: М(Х)^М(У) - математические ожидания двух нормально распределенных совокупностей X и У с неизвестными дисперсиями (но предполагаемыми одинаковыми) равны (применительно к условию примера выборочное среднее показание СОЭ в двух группах одинаково).

Н М{Х)фМ(У) - математические ожидания двух нормально распределенных совокупностей Хм У с неизвестными дисперсиями (но предполагаемыми одинаковыми) не равны (применительно к условию примера выборочное среднее показание СОЭ в двух группах неодинаково).

При значимости а = 1-0,95 = 0,05 (помещен в верхней строке) и f = 20+16 - 2 = 34 находим по таблице прил. 5 распределения Сть- юдента критическую точку (0,05,34) = 2,03. Учитывая, что для

альтернативной гипотезы Н критическая область является двусторонней, находим лве кпитические точки:

Вычислим наблюдаемое значение критерия

Так как | АГиабл| = 1,49 < 2,03 = пр [наблюдаемое значение критерия А'шбл попадает в область принятия гипотезы Но (рис. 9.8)], то есть основание отвергать альтернативную гипотезу Н. Поэтому принимаем нулевую гипотезу Но и делаем вывод, что при уровне значимости а = 0,05 различие между выборочными средними показаниями СОЭ в двух группах больных случайно, т.е. хв и ув отличаются незначимо.

Двусторонняя критическая область

Рис. 9.8. Двусторонняя критическая область

Пример 9.7. По результатам медицинского обследования первой группы баскетболистов из 25 человек выборочный средний рост составил 5св = 181,3 см, второй группы из 20 человек — уй = 195 см, а оценки выборочных исправленных дисперсий равны соответственно: 5^ =68,9 см2 и Sy = 70,7 см2. При уровне значимости а = 0,05 выяснить, можно ли считать различие в средних значениях роста баскетболистов в группах случайным или средний рост баскетболистов первой группы меньше среднего роста второй группы. Предполагается, что обе выборки извлечены из нормально распределенных генеральных совокупностей.

Решение. В данной задаче объем выборки менее 30 значений каждая. Различие между выборочными исправленными дисперсиями невелико и поэтому предполагаем равенство неизвестных групповых дисперсий (см. пример 9.10).

Сформулируем гипотезы.

Но. М(Х)=М( Y) - математические ожидания двух нормально распределенных совокупностей X и Y с неизвестными дисперсиями (но предполагаемыми одинаковыми) равны (применительно к условию примера выборочный средний рост баскетболистов в двух группах одинаков).

Н М(Х)ФЩУ) - математические ожидания двух нормально распределенных совокупностей X и Y с неизвестными дисперсиями (но предполагаемыми одинаковыми) не равны (применительно к условию примера выборочный средний рост баскетболистов в двух группах неодинаков).

Альтернативная гипотеза имеет вид Яд М(Х)фМ( У), поэтому критическая область двусторонняя, Определим число степеней свободы:

При значимости а =0,05 (помещен в верхней строке) и числу степеней свободы /=43 находим по таблице прил. 5 распределения Стьюдента значение критерия 7^(0,05,43) = 2,01.

Вспоминая, что для альтернативной гипотезы Н критическая область является двусторонней, находим две критические точки:

По Формуле (9.2) найдем наблюдаемое значение критерия:

Так как |Яна6л| = 5,47 >2,01 = ^^ [т.е. наблюдаемое значение

критерия АГиабл попадает в критическую область (рис. 9.9)], то отвергаем нулевую гипотезу Я0 и принимаем альтернативную гипотезу Ни Следовательно, при уровне значимости а = 0,05 в рассматриваемых группах существует значимое различие в средних ростах баскетболистов (х. * у„).

Двусторонняя критическая область По условию Зс

Рис. 9.9. Двусторонняя критическая область По условию Зсв<у„. Поэтому сформулируем естественный критерий проверки нулевой гипотезы Но: М(Х)=М( Y) при альтернативной Ну. М{Х)<М(У). Так как альтернативная гипотеза имеет вид Н. M(X) то критическая область левосторонняя.

По таблице прил. 5 распределения Стьюдента при уровне зна- чимоста а = 0,05 (помещен в нижней строке) найдем критическую точку -А"крпр (0,05,43) = -1,68 = Ккр 1е8 (0,05,43). Наблюдаемое значение критерия /^ибл меньше АС,*» (А'1СЙЛ = -5,47 <-1,68 = А1флю) и попадает в критическую область (рис. 9.10). Поэтому нулевую гипотезу Но отвергаем и принимаем альтернативную гипотезу Я|. Итак, при уровне Рис. 9.10. Левосторонняя Крит, область значимости а = 0,05 средний рост баскетболистов первой группы меньше среднего роста второй группы вв).

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >