Проверка гипотезы о равенстве генеральных дисперсий двух нормально распределенных совокупностей

В предыдущем параграфе при проверке гипотезы о равенстве математических ожиданий предполагалось, что дисперсии генеральных совокупностей одинаковы. Однако, строго говоря, в каждом конкретном случае их необходимо подвергать проверке. Задача проверки гипотезы о равенстве дисперсий имеет и самостоятельный интерес. Например, убедившись в равенстве дисперсий, можно говорить об одинаковой точности прибора, методики измерений, технологического процесса и т.п.

Пусть по двум независимым выборкам с объемами и* и пу, извлеченными из нормально распределенных случайных величин А" и У, найдены выборочные исправленные дисперсии S2 и S2y.

Как правило, эти дисперсии несколько отличаются по величине и являются точечными несмещенными оценками генеральных дисперсий. Следовательно, сравнение генеральных дисперсий DAX) и D^Y) сводится к сравнению S2 и S2. Дня проверки достоверности различия между S,2 и при уровне значимости а выдвигается нулевая гипотеза о равенстве соответствующих генеральных дисперсий, т.е. Но'. DA.X)=DT(Y) при альтернативной гипотезе: а) Н. DAX)>D,(Y) б) Ну. Д(А) * Dr(Y). Рассмотрим оба случая.

1. Пусть проверяется при уровне значимости а нулевая гипотеза На'. Dr(X)=Dr(Y) при альтернативной гипотезе Н: D,(X)>D,(Y). Для проверки нулевой гипотезы вычисляют отношение большей исправленной дисперсии к меньшей

считая, что

(в противном случае следует поменять обозначенияXи Yместами).

По таблице прил. 6 распределения критических точек Фишера - Снедекора при заданном уровне значимости а и числам степеней свободы /j = пх -1 и f2=ny~] ( /J - число степеней свободы большей исправленной дисперсии, f2 - меньшей исправленной дисперсии) находим критическую точку Ккр(а/ф)- Критическая область - правосторонняя и определяется неравенством К>К^ пр. Если Кты<К*г пр — нулевая гипотеза Но принимается (различие исправленных дисперсий незначимо и объясняется случайными причинами), если КШбп>КК!, „р - нулевая гипотеза отвергается (различие исправленных дисперсий значимо и не может быть объяснено случайными причинами).

2. Допустим, что проверяется при уровне значимости а нулевая гипотеза Но'. D,(X)=D,(К) при альтернативной гипотезе Н. Д<А)* Д(У). В этом случае критическая область - двусторонняя, задаваемая неравенством ЩЖ^^ЦаИ/ф). Правую критическую точку Ккрпр(аУ2/1^) отыскиваем по той же таблице критических точек распределения Фишера — Снедекора по уровню значимости а/2 (т.е. вдвое меньше заданного) и числам степеней свободы /| и /г. Если А*набл^Ккр пр — нулевая гипотеза Но принимается, а если /С„аб;т>А'кр пр — нулевая гипотеза Но отвергается в пользу альтернативной гипотезы Hi.

Пример 9.8. В результате двух независимых измерений диастолического давления крови (в мм рт. ст) человека получены значения:

  • а) первой методикой А-: 80,2; 81,4; 82,0; 82,7; 81,6;
  • б) второй методикой Y: 82,1; 81,8; 81,3; 82,5.

Предполагая давление крови человека случайной величиной, подчиняющейся нормальному закону, при уровне значимости а = 0,05 проверить гипотезу, что обе методики обеспечивают одинаковую точность измерения давления крови.

Решение. Сформулируем гипотезы согласно условию примера.

Но4. D,(X)=D,(Y) - генеральные дисперсии двух нормально распределенных совокупностей X и У равны (в контексте примера выборочная исправленная дисперсия методики измерения давления крови в двух группах одинакова).

Н,: Dt{X)f-D,{ Y) - генеральные дисперсии двух нормально распределенных совокупностей X и У не равны (в контексте примера выборочная исправленная дисперсия методики измерения давления крови в двух группах неодинакова).

Вычислим выборочные средние:

Найдем выборочные исправленные дисперсии

Конкурирующая гипотеза имеет вид Hi: D,(X)?Dt(Y), поэтому критическая область двухсторонняя и при нахождении критических точек уровень значимости а следует брать в два раза меньше, т.е. а/2 = 0,05/2 = 0,025.

По таблице прил. 6 для а = 0,025 при степенях свободы /J =

= пх—1 = 5—1 = 4 (соответствует большей дисперсии) и /2 = и>-1 = 4-1 = 3

находим критическую точку ^ ^,(0,025,4,3) = 15,10.

Наблюдаемое значение критерия

Так как Л'„аб.г-3,29< 15,1 кр пр [наблюдаемое значение критерия К„абл попадает в область принятия нулевой гипотезы Но (рис. 9.11)], то нулевую гипотезу Но принимаем и отвергаем аль?„«. = -15,10 О х„6„ = 3,29 ?„„= 15,10

тернативную гипотезу Н. Это значит, что при уровне значимости а = 0,05 обе методики обеспечивают одинаковую точность измерения давления крови человека.

Двусторонняя критическая область

Рис. 9.11. Двусторонняя критическая область

Пример 9.9. Для выяснения эффективности применения препарата исследовали некоторый показатель жизнедеятельности у животных двух групп. Выборочное среднее значение этого показателя для 12 животных контрольной группы составило ЗсЕ = 5.5 при выборочной исправленной дисперсии Sj = 0,0144; для 14 животных опытной группы (т.е. группы, в которой применялся препарат) соответствующие показатели оказались равными =6,0 и Sy =0,0100. В предположении справедливости нормального закона распределения изучаемого показателя у животных как опытной X, так и контрольной группы У при уровне значимости а = 0,05 определить:

а) существенно (значимо) ли отличаются найденные выборочные исправленные дисперсии s и S* (при альтернативной

гипотезе, состоящей в предположении о неравенстве соответствующих выборочных исправленных дисперсий);

б) значимо ли различаются между собой найденные средние значения изучаемого показателя для двух групп животных.

Решение, а) Сформулируем гипотезы.

Но'. DJX)=Dr(Y) - генеральные дисперсии двух нормально распределенных совокупностей X и У равны (в контексте примера выборочная исправленная дисперсия показателя жизнедеятельности животных в двух группах одинакова).

Н DA.X) * D,(Y) — генеральные дисперсии двух нормально распределенных совокупностей Л" и К не равны (в контексте примера выборочная исправленная дисперсия показателя жизнедеятельности животных в двух группах неодинакова).

Вычислим наблюдаемое значения критерия

Поскольку критическая область двухсторонняя, то уровень значимости а следует брать в два раза меньше, т.е. а/2 = 0,025.

По f{ - пх -1 = 12 -1 = 11 (соответствует большей дисперсии) и /", = «^-1 = 14-1 = 13 находим из таблицы прил. 6 критическую точку Ккр„р(0,025,11,13) = 3,20. Наблюдаемое значение критерия Ка6„ меньше А'.фпр (Аш5л= 1,44<3,20=^„р) и попадает в область принятия нулевой гипотезы Но (рис. 9.12). Поэтому гипотезу Н0 принимаем и отвергаем гипотезу Н. Следовательно, при данном уровне значимости а = 0,05 различие выборочных исправленных дисперсий показателя жизнедеятельности незначимо (несущественно).

Двусторонняя критическая область

Рис. 9.12. Двусторонняя критическая область

б) Так как генеральные дисперсии равны, то можно применить метод сравнения математических ожиданий, изложенного в п.п. 9.3. В соответствии с этим сформулируем гипотезы.

Но: М(Х)=М( К) - математические ожидания двух нормально распределенных совокупностей X и У с одинаковыми генеральными дисперсиями равны (применительно к условию примера выборочный средний показатель жизнедеятельности животных в двух группах одинаков).

Ни М(Х)ФМ{ У) — математические ожидания двух нормально распределенных совокупностей X и У с одинаковыми генеральными дисперсиями не равны (применительно к условию примера выборочный средний показатель жизнедеятельности животных в двух группах неодинаков).

Поскольку альтернативная гипотеза имеет вид Ни М(Х)ФМ(У), то критическая область двухсторонняя. Из таблицы прил. 5 по уровню значимости а = 0,05 (помещен в верхней строке) и f ?= 12+14-2 = 24 находим критическую точку ^(0,05,24) = 2,06.

Вычислим наблюдаемое значение критерия

Так как |/fHa6n|= 11,5>2,06=А"крттр и при этом наблюдаемое значение критерия Л'.габл попадает в критическую область (рис. 9.13), то нулевая гипотеза Но отвергается и принимается альтернативная гипотеза Н. Это значит, что при уровне значимости а = 0,05 средние показатели жизнедеятельности двух групп животных различаются между собой значимо (существенно), т.е. Зс„ * уъ.

Двусторонняя критическая область

Рис. 9.13. Двусторонняя критическая область

Пример 9.10. В условиях примера 9.7 при уровне значимости а = 0,05 проверить нулевую гипотезу Ну. D,(X)=D^ К) при альтернативной гипотезе: а) Ну. DA.X)>DA. К); б) Ну DA.X) * Dr(Y).

Решение, а) Альтернативная гипотеза имеет вид D,(X) >D^Y), следовательно, критическая область — правосторонняя. Находим число степеней свободы /j = 20 -1 = 19 и f2 = 25 -1 = 24. По таблице прил. 6 распределения Фишера - Снедекора при уровне значимости а = 0,05 находим А"крпр(0,05,19,24) = 2,05.

Наблюдаемое значение критерия

Так как Я;Ибл=1,03<2,05=^141, то гипотезу о равенстве генеральных дисперсий среднего роста баскетболистов в 2 группах принимаем.

б) Альтернативная гипотеза имеет вид D,(X) ф D,(Y), следовательно, критическая область - двухсторонняя. Поэтому уровень значимости берем в два раза меньше а/2=0,025. Значения критической точки 7fKpnP(0,025,19,24) в таблице прил. 6 нет. Однако в силу того, что величина A'4>np(a/i^) убывает с ростом а, то А‘крлр(0,025,19,24)>Л-кр„р(0,05,19,24)>/Гкр„р(0,05,«>,24)= 1,88. Так как А‘|чбл=1,03<1,88=А'крлр, то нулевую гипотезу Но не отвергаем. Еще раз убеждаемся, что в условиях примера 9.7 принятое допущение о равенстве генеральных дисперсий среднего роста в двух группах баскетболистов верно.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >