Сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней нормальной совокупности

Пусть из нормальной генеральной совокупности X извлечена выборка объема п и по ней следует проверить предположение о том, что ее математическое ожидание (генеральное среднее) равно гипотетическому (некоторому заданному) числу ай. Рассмотрим два случая.

Дисперсия генеральной совокупности известна.

Пусть X - случайная величина, имеющая нормальный закон распределения, причем числовое значение математического ожидания М(Х) неизвестно, а числовое значение генеральной дисперсии D (X) известно (например, из теоретических соображений или исследования выборки большого объема, п > 30). В этом случае проводят выборочные исследования и по их данным находят выборочную среднюю хв, которая дает приближенное представление о числовом значении математического ожидания. Затем по выборочной средней при заданном уровне значимости а проверяют нулевую гипотезу Я„: М(Х) = а0 при альтернативной

гипотезе: а) Я1:М(А')^а0; б) Н] :М(Х)>а0; в) Я, :М(Х)<а0. Наблюдаемое значение критерия находится по формуле

где ах выборочное среднее квадратичное отклонение.

Вид критической области зависит от типа задаваемой альтернативной гипотезы:

  • а) Я|: М(Х) * а0 - критическая область двусторонняя, задаваемая неравенством |А"|>АГкр пР кр пр>0), где критическая точка ЛГкрпр находится из формулы Ф(Я) = (1-а)/2 по таблице прил. 2 функции Лапласа. Если | ATHa6jJ < Якрпр, то нулевая гипотеза принимается, а если |Яна6л| > Ккр пр - нулевая гипотеза отвергается;
  • б) Я| :М(Х)>а0 — критическая область правосторонняя, задаваемая неравенством К>КЩЩ, где К^щ, находится из равенства Ф(Кц,) = = 0,5—а по таблице прил. 2. Если Ктб„<К^,пр - нулевая гипотеза принимается, при Ямб^Якрпр- нулевая гипотеза отвергается;
  • в) #!: М(Х) < а0 — критическая область левосторонняя, задаваемая неравенством К<Ккр „р (А*рпр<0), где Кщ, ,ф находят по правилу б), а затем следует присваивать ему знак «минус», приняв -Кф„р=^кр.пе». Если Кцаоп>Ккр.пе» — нулевая гипотеза принимается, при К,абп <К*р„ев нулевая гипотеза отвергается.

Пример 9.11. При лечении продолжительность госпитализации больных пиелонефритом, соответствующая официальным рекомендациям, составляет 4,51 суток. На основе анализа выборки объема и = 76 больных установлено, что средняя продолжительность госпитализации одного больного составляет 6,28 суток. Предполагается, что продолжительность госпитализации X случайная величина, подчиняющейся нормальному закону с ах = 1,98 суток. Проверить гипотезу, что при уровне значимости а = 0,05 официальная средняя продолжительность госпитализации больного пиелонефритом фактически не изменилась.

Решение. По условию л =76, х„ =6,28. Сформулируем нулевую и альтернативную гипотезы.

По формуле (4.75) вычислим наблюдаемое значение критерия

Альтернативная гипотеза имеет вид М(Х)*а0, поэтому критическая область - двусторонняя. При заданном уровне значимости а = 0,05 вычислим

откуда по таблице прил. 2 функции Лапласа отыскиваем критическую точку

Так как |Л'набл| = 7,79 > 1,96 = Rf пр, то нулевую гипотезу Но отвергаем. Таким образом, при уровне значимости а = 0,05 средняя продолжительность госпитализации больного значимо отличается от средней продолжительности госпитализации, соответствующая официальным рекомендациям.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >