Соотношение неопределенностей

Пусть L и М — две физические величины, которым соответствуют операторы L и М. Рассмотрим условия, когда возможно одновременное и точное измерение двух физических величин. В общем при ^-измерениях могут быть получены различные значения каждой из величин: Lv Lr ..., Lk и Л/j, Mv ..., Мк. Рассеяние величин (разброс значений при измерении) можно охарактеризовать величиной среднеквадратичного отклонения, которое, например, для L имеет вид, представленный в правой части следующего выражения:

_ j к

где среднее арифметическое измеренных зна-

к j=

чений.

В центральной части этого выражения дано условное обозначение его правой части. По аналогии в левой части выражения записан на основании принципа соответствия квантово-механический оператор, позволяющий определить рассеяние L. Аналогичный вид имеет оператор, характеризующий рассеяние величины М.

Для краткости последующей записи введем операторы А и В

В общем случае волновая функция может быть комплексной функцией. Поэтому представим ее как сумму действительной и комплексной составляющих (pj и iAxp2, где (pj и ср., — функции, являющиеся результатом действия операторов А и В на Т; X — произвольный вещественный коэффициент; i — мнимая единица. Тогда

Для данной функции в соответствии со свойствами волновых функций справедливо выражение

или в общем случае

Запишем последнее неравенство, учитывая то, что ц>] = = АТ и (р2 = ВТ:

Преобразуем это выражение и, применив свойство эрми- товости операторов А и В, получим

где был введен оператор

Переходя к средним значениям, получаем следующее неравенство: справедливое при любом действительном X.

Выражение вида F(X) = а2 + Хс + ХЧ>2 неотрицательно при любых действительных значениях X, если минимальное значение F(X) > 0. Определим соответствующее минимуму функции значение А,0 из условия

В результате находим, что

После подстановки выражения для в неравенство F(X0) >0 получаем

После упрощающих преобразований окончательно находим, что наложенное условие соблюдается, если Аа2Ь2 > с1. Применив этот резз'льтат к выражению для /, имеем

или в операторной форме

Используя принятые обозначения операторов А и В, получаем

Таким образом, разбросы значений двух физических величин L и М связаны между собой определенным неравенством.

Рассмотрим подробнее оператор С:

Учитывая, что L и М — числа, имеем после сокращения совпадающих слагаемых

Таким образом, оператор С является коммутатором операторов измеряемых физических величин. Откуда следует, что если соответствующие двум физическим величинам L и М операторы L и М не коммутируют (С * 0), то правая часть последнего неравенства не равна нулю и разбросы значений L и М не могут равняться нулю ни в каком состоянии частицы.

Если операторы L и М коммутируют, т.е. С = 0, то никаких ограничений на разбросы значений двух величин не накладывается, в частности оба разброса могут равняться нулю.

Неравенство (2.6) называется соотношением неопределенностей Гейзенберга.

Рассмотрим возможность одновременного определения координаты и импульса микрочастицы. Для этого в качестве операторов L и М необходимо взять операторы координаты х и импульса рх. Построим оператор

Имеем

т.е. операторы координаты и проекции импульса на данную координату не коммутируют, так как собственное значение оператора С равно -1.

Тогда согласно неравенству (2.6) получаем

Из найденного соотношения следует, что одновременно координату и соответствующий ей импульс частицы в любом состоянии нельзя указать точно. Соотношение указывает верхний предел точности, достигаемый при одновременном измерении координаты и импульса. Если импульс

определен точно (Дрх)2 =0, то при этом координата оказывается совершенно неопределенной: (Ах)2 = °<=. Наоборот, в конкретной точке пространства, когда координата точно задана, значение импульса является совершенно неопределенным. Одновременное указание координаты и импульса частицы возможно только с точностью, допускаемой соотношением неопределенностей.

Глава 2. Основные постулаты

70

По этой же причине нельзя говорить о том, что частица находится в одной из точек пространства. Вместо этого говорят, например, об электронном облаке — части пространства, где возможно нахождение частицы с заданной вероятностью.

В соответствии с теоремой о системе функций и операторах (см. параграф 1.2) соотношения для коммутирующих операторов момента импульса и квадрата момента импульса (2.2) также показывают, что можно одновременно точно измерить лишь одну из проекций и квадрат момента импульса. Для этих операторов существуют общие собственные волновые функции.

Аналогично, например, наличие ненулевого коммутатора операторов в соотношениях (2.4) показывает, что невозможно одновременно точно определить любые две проекции спина частицы.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >