Теория возмущений и эффект Штарка

Рассмотрим сдвиг энергетических уровней атома водорода во внешнем электрическом поле {эффект Штарка) напряженности F, которая в опытах имеет порядок 104—105 В/см. Она значительно меньше внутриатомной напряженности поля, создаваемой ядром и составляющей в атоме водорода

около — « 5 • 109 В/см.

*0

Поэтому для решения задачи можно использовать теорию возмущений. Выберем начало координат в ядре и направим ось г вдоль поля F. Тогда возмущающий гамильтониан (энергия взаимодействия электрона с внешним полем) равен

Нулевым приближением в этой задаче являются собственные функции и собственные значения уравнения Шрёдингера для электрона в изолированном атоме водорода.

В основном состоянии атома водорода я = 1, / = 0, т = 0. Энергия электрона, как известно, есть функция главного квантового числа

Волновая функция (Is-АО) имеет вид (см. табл. 3.1 и 3.2)

Энергия возмущения первого порядка (см. выражение (4.5)) определяется интегралом

Подставляя конкретное выражение для 1 s-AO и переходя к полярным координатам, получаем

Итак, поправка первого порядка к энергии основного состояния атома водорода равна нулю — уровень не расщепляется и не изменяет своей энергии.

Рассмотрим следующие (возбужденные) состояния атома водорода. Невозмущенное состояние с главным квантовым числом п - 2 четырехкратно вырождено, так как энергии электрона, описываемого 2s-, 2р-, 2р 2рг-АО, совпадают

1 1

и имеют значение Еп =-——j а.е. Поэтому для нахождения

значений энергии электрона в электрическом поле следует воспользоваться теорией возмущений для вырожденных состояний. Матричные элементы возмущения характеристического уравнения рассчитываются по формуле

Для удобства выпишем еще раз математические выражения для 2.У-, 2р-, 2р 2p-АО водорода:

Вычислим матричные элементы возмущений

Данный интеграл из-за угловой части, определяемой магнитным квантовым числом, так же, как и соответствующий интеграл для Is-ДО (см. выше), равен нулю. Аналогично из-за угловых частей, определяемых магнитными квантовыми числами, будут равны нулю интегралы

Равенство нулю этих интегралов легко доказать и на основе симметрии подынтегральных выражений. Воспользуемся этим приемом для нахождения ненулевых недиагональных матричных элементов возмущения. Интеграл /^2=^2» включает произведение zx(z — от возмущения и х — от угловой части 2p-АО). Это произведение принимает равное число положительных (при z > 0 и л: > О,2<0ид:<0)и отрицательных (при z > 0 и х < 0, z < 0 и х > 0) значений. Поэтому подынтегральная функция будет нечетной, а интеграл равняться нулю. По аналогичной причине равны нулю и другие рассматриваемые интегралы, кроме двух. Эти два интеграла содержат четные функции в подынтегральных выражениях и не равны нулю. В итоге имеем

Вычислим ненулевой матричный элемент

Получившиеся интегралы легко вычисляются непосредственно или с использованием таблиц интегралов. В результате получаем

Составляем характеристическое уравнение в матричной форме

Решим его, сначала упростив

а затем разложив детерминант 4-го порядка по второй строке

Получившийся детерминант третьего порядка разложим вновь но второй строке

Итак, уравнение имеет четыре корня:

Их значения говорят о том, что в электрическом поле четырехкратно вырожденный второй энергетический уровень атома водорода и водородоподобных атомов и ионов расщепляется на три уровня. Центральный уровень является двукратно вырожденным и отвечает движению электрона преимущественно в плоскости ху. Энергия этого уровня равна энергии невозмущенного уровня в изолированном атоме водорода. Два других уровня энергии находятся соответственно выше и ниже на величину 3F, что наглядно видно на рис. 4.1.

Положение энергетических уровней атома водорода без электрического поля (а) и при наложенном электрическом поле (6)

Рис. 4.1. Положение энергетических уровней атома водорода без электрического поля (а) и при наложенном электрическом поле (6)

Для определения волновых функций, отвечающих расщепленным в электрическом поле уровням атома водорода, воспользуемся выражением (4.10). Поскольку в рассматриваемом случае кратность вырождения равна четырем, имеем следующую систему однородных линейных уравнений:

После подстановки вычисленных значений матричных элементов возмущений она принимает вид

Подставляя в данную систему уравнений первые два корня вышеприведенного детерминантного уравнения

получаем,что

В соответствии с выражением (4.6) волновая функция теперь имеет вид

В результате решениям Ех = 0 и е12=0 после нормировки отвечают волновые функции

либо их линейные комбинации. Поэтому соответствующие энергетические уровни атома водорода при наложении электрического поля на рис. 4.1 обозначены как 2р- и 2р;/-уровни.

Аналогично, подставляя в последнюю систему уравнений третий и четвертый корни детерминантного уравнения

получаем,что

и

В соответствии с этим волновые функции имеют соответственно вид

После подстановки конкретного вида волновой функции и нормировки получившихся выражений находим, что

Соответствующие уровни энергии на рис. 4.1 обозначе- 1 1

ны как -(2s-2p2)- и -^=(2л + 2рг)-уровни.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >