Интенсивность брэгговского отражения для кристаллической пластинки

При изучении дифракции рентгеновских лучей на идее- альных кристаллах рассматривают два основных случая (рис. 7.2) для интенсивности дифрагированных пучков: случай Лауэ - интерференция прошедших через кристаллическую пластинку пучков, и случай Брэгга - интерференция пучков, вышедших через ту же поверхность кристалла, на которую падал первичный пучок. Для более полного описания этих схем дифракции вводится понятие фактора асимметрии отражения Ь, равного отношению направляющих косинусов падающей у0 = cos(ko, п) и отраженной Уя = cos(ko + Н, п) волн [4]:

где ко - волновой вектор падающей волны, Н - вектор обратной решетки, п - нормаль к входной поверхности, направленная в глубь кристалла.

Симметричное отражение осуществляется при b = 1: в случае Брэгга дифракция рентгеновского излучения происходит на атомных плоскостях, параллельных поверхности кристалла, а в случае Лауэ - на плоскостях, перпендикулярных поверхности.

Схема взаимного расположения поверхности кристалла и отраженного луча

Рис. 7.2. Схема взаимного расположения поверхности кристалла и отраженного луча: R - отраженным пучок, Т - прошедший. Случай Брэгга: а - асимметричный; 6 — симметричный. Случай Лауэ: в - асимметричный; г - симметричный. Штриховая линия указывает ориентацию отражающей плоскости [5].

Возьмем неограниченную по площади кристаллическую пластинку, состоящую из семейства М плоскостей типа (hh2h-$), параллельных внешнему огранению пластинки. Для расчета множителя Q - Q(ht) найдем сначала отражающую способность q2( Н) = q2(B) одной атомной плоскости, представляющую собой плавную функцию угла 0 [3], квадрат которой умножим на интерференционную функцию

. 9

? sin Мх

одномерной решетки фм =-х—, состоящую из острых

sinz х

максимумов. Полученное произведение проинтегрируем в пределах одного селективного максимума, что даст нам искомое значение 0(H).

Пусть в точке А (рис. 7.3) помещен источник излучения. Мы ищем амплитуду отраженной волны в точке В. Пусть плоскость АРВ нормальна, а АР и РВ составляют равные углы 0 с плоскостью данной кристаллической пластинки. Тогда Р определяется тем, что АРВ есть кратчайшее расстояние от А к В через данную пластинку. Пусть М будет такая точка на этой плоскости, что расстояние АМВ на Х/2 больше расстояния АРВ. Тогда М находится на краю первой зоны Френеля, соответствующей точкам Л и В, а вся граница зоны, т.е. геометрическое место таких точек, как А/, представляет собой эллипс с центром в Р; большой осью этого эллипса является след плоскости АРВ на отражающей плоскости. Продолжая дальше также, мы можем разделить всю плоскость на последовательные зоны Френеля; все эти зоны имеют эллиптическую форму.

Построение зон Френеля для отражения плоской волны от атомной плоскости [1]

Рис. 7.3. Построение зон Френеля для отражения плоской волны от атомной плоскости [1].

Найдем площадь первой зоны Френеля. Введем декартову прямоугольную систему координат таким образом, что ось z перпендикулярна отражающей плоскости, ось у совпадает со следом плоскости АРВ на отражающей плоскости, а начало координат поместим в точку Р. Точка М имеет координаты (.х, у, 0) и введем обозначения АР-гх, РВ = к2, АМ= г хм, МВ = г2м- Тогда

Разность хода Аг лучей А МВ - АРВ равна

Если точка М лежит на границе первой зоны Френеля, то Ar = XI2 и

откуда для площади первой зоны Френеля S, определяемой

2 2 х у

эллипсом с главными полуосями аи6(5 = nab, — + = О

а Ъ1

сразу получим

Обычно расстояние от источника много больше расстояния до точки наблюдения (падающая волна почти плоская) и

В обычном построении Френеля мы имеем дело с фронтом волны, причем предполагается, что он содержит бесконечно большое число источников вторичных волн Гюйгенса.

В данном случае у нас есть ряд действительных источников, 260

и если мы хотим применить построение Френеля, то нам надо показать, что рассеивающие точки расположены на данных плоскостях достаточно густо по сравнению с площадями зон, так что их можно считать действующими так, как если бы они были распределены непрерывно.

Для рентгеновского излучения X ~10 8 см и беря r2= 1 см , a sin0 = 1, находим, что площадь первой зоны равна около 3*1 (Г8 см2. Это кажется очень малым, но мы должны вспомнить, что средняя поверхностная плотность ячеек составляет примерно 1014 на 1 см2, так что число атомов в первой зоне в рассматриваемом случае составляет несколько миллионов. При такой плотности распределение рассеивающих центров кристалла на отражающей плоскости можно считать квазинепрерывным и, следовательно, оправданным использование построения зон Френеля.

Как показано в [3], рассеяние первой зоны Френеля равно 2/л от площади зоны, а рассеяние всех зон Френеля, начиная со второй равно 1/2 - половине - амплитуды рассеяния первой зоны Френеля. Таким образом, для коэффициента отражения q = А/А0 получим (см. (6.10))

где R - расстояние от точки рассеяния до точки наблюдения; «о = Nd: N - число элементарных ячеек в единице объема кристалла, d - “толщина” атомной плоскости - межплоскостное расстояние и учтен тот факт, что при отражении от плоскости фаза отраженной волны изменяется на четверть периода [1].

Амплитуда отражения q не зависит от расстояния R до точки наблюдения. Это показывает, что отраженная волна

является плоской.

Отражение плоской волны от кристаллической пластинки [3]

Рис. 7.4. Отражение плоской волны от кристаллической пластинки [3].

Теперь рассмотрим рассеяние кристаллической пластинкой, содержащей М плоскостей с межплоскостным расстоянием d (рис. 7.4). В точку наблюдения попадает энергия, рассеянная объемом кристалла, содержащимся в узком цилиндрическом канале сечением в несколько зон Френеля. Общее количество отраженной энергии, измеряемой детектором излучения, определяется площадью окна детектора или площадью сечения S отраженного пучка. В таком случае, отраженная интенсивность

где х = (l/2)kD, D = 2<7sinQ - разность хода лучей, отраженных двумя последовательными плоскостями решетки.

Интегральная интенсивность отражения измеряется площадью селективного максимума:

Подставим в (7.3) выражение dQ = Xdx/(2ndcosQ) и вынесем за пределы интегрирования функции угла 0, медленно меняющиеся в интервале малого угла 2А0, определяемого шириной селективного максимума. В качестве пределов интегрирования возьмем период интерференционной функции. Тогда

Интеграл интерференционной функции равен пМ. Следовательно,

Введем значение q (7.1) и учтем толщину кристаллической пластинки / = Md:

где 8v - элемент объема пластинки, отражающий излучение в точку В, Q - отражающая способность единицы объема кристалла:

Величина Q определяется тремя множителями: сечении- ем рассеяния, квадратом модуля структурной амплитуды | F |2 и множителем Лоренца для монокристалла l/sin2<7.

Небольшой кристалл (с размерами меньше экстинкци- онной длины) неправильной формы (рис. 7.5) можно рассечь на параллельные цилиндрические элементы. Каждый элемент отражает пропорционально своему объему. Поэтому весь кристалл объема V, полностью купающийся в первичном пучке, дает интегральное отражение

Объемы, ограниченные пунктирными линиями, остаются эффективно постоянными, так как угловой интервал покачивания кристалла в области отражения невелик.

Отражение плоской волны от массивного кристалла [3]

Рис. 7.5. Отражение плоской волны от массивного кристалла [3].

Формулу (7.8) можно применить и к мозаичному кристаллу, так как интегральное отражение каждого блока мозаики пропорционально его объему.

В случае поглощения излучения в объекте вместо объема V просвещенной части объекта следует взять эффективный объем объекта (он может быть и поликристаллом), участвующий в рассеянии. Выражение для эффективного объема имеет вид

где р - линейный коэффициент поглощения, 5] hj2- длины путей, проходимых в объекте первичным и рассеянным лучами до и от элемента объема dv соответственно. При отсутствии поглощения р, = 0 и А = V. Эффективный объем можно вычислить для объектов простой или правильной формы [6].

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >