Теорема Бэкингема (я-теорема).

Этот метод получения критериев подобия лежит в основе инженерного эксперимента. С помощью данного метода существенно сокращается число переменных, между которыми должна быть экспериментально установлена расчетная зависимость.

Пусть, например, некоторая размерная физическая величина Аг является функцией других переменных А2, А3, ..., Ап. Общий вид уравнения, описывающего данный процесс:

Любое физическое уравнение должно быть размерно-однородным. Это означает, что физические величины А2, А3, ..., А,, должны быть в таких комбинациях, чтобы каждое слагаемое в правой части уравнения (1.1) имело размерность Ах. Приведем (1.1) к безразмерному виду путем деления всех слагаемых правой части на Ар.

где ль л2, ... — безразмерные комплексы.

Чаще всего безразмерные комплексы могут быть получены в виде степенной функции

где a, b,i, к — показатели степенной функции.

Теорема Бжингема: число безразмерных комплексов равно числу размерных физических величин за вычетом числа основных размерностей.

Основные размерности в задачах гидромеханики — единицы длины, массы, времени. В теплотехнике к ним добавляется температура.

В задачах гидромеханики число основных размерностей к = 3. Таким образом, если обозначим число размерных физических величин через п, а число безразмерных комплексов — через т, то согласно л-тео- реме

Для определения структуры безразмерных комплексов необходимо ввести понятие физических величин с независимыми размерностями. Эти размерности должны удовлетворять двум требованиям:

  • 1) должны включать все основные размерности;
  • 2) размерность каждой из них не может быть получена комбинированием остальных, т.е. представлена в виде степенного многочлена. Этим требованиям в задачах гидромеханики удовлетворяют физические величины v, р, d:

Технику раскрытия безразмерных комплексов рассмотрим на следующем примере.

Пример 1.4

Рассмотрим осаждение твердой шарообразной частицы в жидкой среде под действием силы тяжести.

Сила сопротивления среды при движении твердого тела является функцией скорости, вязкости, плотности жидкости и диаметра частицы:

Пять размерных физических величин согласно л-теореме могут быть заменены двумя безразмерными комплексами. Приступим к раскрытию этих комплексов.

Поскольку v, р, d — величины с независимыми размерностями, безразмерные комплексы можно представить в следующем виде:

Общий вид функциональной зависимости был выбран в виде степенной функции как наиболее часто встречающейся при описании физических явлений. Теперь необходимо подобрать значения х, у, z, при которых размерности Л1 и я2 равнялись бы единице (были бы безразмерны).

Заменим физические величины их размерностями, выраженными через основные:

Приравниваем показатели степеней при одинаковых членах в правой и левой частях выражения. В результате получим систему уравнений:

откуда

Отсюда получим безразмерный комплекс:

Аналогично раскрываем комплекс я2. В результате получим величину, обратную критерию Рейнольдса:

Поскольку я-теорема не определяет конкретного вида зависимости между безразмерными комплексами, то в общем виде запишем:

После преобразования получим:

где Ъ, — коэффициент сопротивления среды, являющийся функцией крите- nd

рия Рейнольдса;--площадь проекции тела на плоскость, перпендику-

4 2

р гг

лярную направлению движения; —--динамический (скоростной) напор.

1

Пример 1.5

Рассмотрим движение жидкости по трубе круглого сечения диаметром d, длиной /. Требуется определить потери давления на трение Лр. В общем виде запишем:

Согласно я-теореме, вместо шести размерных физических величин будем иметь три безразмерных комплекса:

Раскроем эти комплексы, заменив физические величины их основными размерностями:

Приравниваем степени при одинаковых членах:

В результате получим критерий Эйлера:

Аналогично раскроем второй и третий комплексы. Получим:

Поскольку л-теорема не раскрывает конкретной связи между критериями, поэтому в общем виде можно будет записать:

или

где/(Re) — коэффициент трения X.

В итоге получим формулу Дарси — Вейсбаха:

Вопросы и задания для самопроверки

[1] [2] [3]

  • 4. В чем сущность физического и математического моделирования?
  • 5. Поясните сущность подобия как основания для моделирования.
  • 6. Раскройте подобие: геометрическое, временное и физическое.
  • 7. Перечислите критерии подобия и способы их получения.
  • 8. На конкретном примере раскройте способ получения критерия подобия при условии, что известно уравнение процесса.
  • 9. Сформулируйте л-теорему. Раскройте понятие основных размерностей.
  • 10. На конкретном примере раскройте способ получения критерия подобия с использованием метода анализа размерностей.

  • [1] Какой критерий положен в основу классификации основных процессов?
  • [2] В чем заключается принцип составления уравнений материальных и тепловых балансов?
  • [3] Раскройте сущность критериев оптимизации (энергетического, экономического).
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >